Encuentra todos los enteros positivos $x,y,z$ y $t$ tales que $2^x3^y+5^z=7^t$ .

Determina todas las ternas $(m , n , p)$ que satisfacen : \[n^{2p}=m^2+n^2+p+1\] donde $m$ y $n$ son enteros y $p$ es un número primo.

Descifra la igualdad : \[(\overline{VER}-\overline{IA})=G^{R^E} (\overline {GRE}+\overline{ECE}) \] asumiendo que el número $\overline {GREECE}$ tiene un valor máximo . Cada letra corresponde a un dígito único de $0$ a $9$ y letras diferentes corresponden a dígitos diferentes . También se supone que todas las letras $G$ , $E$ , $V$ y $I$ son diferentes de $0$ .

¿Existen números primos $p$ y $q$ tales que $p^2(p^3-1)=q(q+1)$ ?

Si $a$ , $b$ son enteros y $s=a^3+b^3-60ab(a+b)\geq 2012$ , encuentra el menor valor posible de $s$ .

Un par ordenado $(x, y)$ de enteros es un punto primitivo si el máximo común divisor de $x$ e $y$ es $1$. Dado un conjunto finito $S$ de puntos primitivos, pruebe que existe un entero positivo $n$ y enteros $a_0, a_1, \ldots , a_n$ tales que, para cada $(x, y)$ en $S$, tenemos:\n$$a_0x^n + a_1x^{n-1} y + a_2x^{n-2}y^2 + \cdots + a_{n-1}xy^{n-1} + a_ny^n = 1.$$\n

Se da un entero $N \ge 2$. Una colección de $N(N + 1)$ jugadores de fútbol, ​​ninguno de los cuales tiene la misma altura, se paran en una fila. Sir Alex quiere quitar $N(N - 1)$ jugadores de esta fila, dejando una nueva fila de $2N$ jugadores en la que se cumplen las siguientes $N$ condiciones:\n( $1$ ) nadie se interpone entre los dos jugadores más altos,\n( $2$ ) nadie se interpone entre el tercer y cuarto jugador más alto, $\;\;\vdots$\n( $N$ ) nadie se interpone entre los dos jugadores más bajos. Demuestre que esto siempre es posible.

Sean $R$ y $S$ puntos diferentes en un círculo $\Omega$ tales que $RS$ no es un diámetro. Sea $\ell$ la línea tangente a $\Omega$ en $R$. El punto $T$ es tal que $S$ es el punto medio del segmento de línea $RT$. El punto $J$ se elige en el arco más corto $RS$ de $\Omega$ de modo que el circuncírculo $\Gamma$ del triángulo $JST$ interseca a $\ell$ en dos puntos distintos. Sea $A$ el punto común de $\Gamma$ y $\ell$ que está más cerca de $R$. La línea $AJ$ se encuentra con $\Omega$ nuevamente en $K$. Demuestre que la línea $KT$ es tangente a $\Gamma$.

Un cazador y un conejo invisible juegan un juego en el plano euclidiano. El punto de partida del conejo, $A_0,$ y el punto de partida del cazador, $B_0$ son el mismo. Después de $n-1$ rondas del juego, el conejo está en el punto $A_{n-1}$ y el cazador está en el punto $B_{n-1}.$ En la $n^{\text{th}}$ ronda del juego, tres cosas ocurren en orden: El conejo se mueve invisiblemente a un punto $A_n$ tal que la distancia entre $A_{n-1}$ y $A_n$ es exactamente $1.$ Un dispositivo de rastreo reporta un punto $P_n$ al cazador. La única garantía proporcionada por el dispositivo de rastreo al cazador es que la distancia entre $P_n$ y $A_n$ es a lo sumo $1.$ El cazador se mueve visiblemente a un punto $B_n$ tal que la distancia entre $B_{n-1}$ y $B_n$ es exactamente $1.$ ¿Es siempre posible, sin importar cómo se mueva el conejo, y sin importar qué puntos sean reportados por el dispositivo de rastreo, para el cazador elegir sus movimientos de manera que después de $10^9$ rondas, pueda asegurar que la distancia entre ella y el conejo sea a lo sumo $100?$

Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Determine todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que, para cualesquiera números reales $x$ e $y$,\n$$ f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy). $$\n