Sea $n \geq 3$ y considere un conjunto $E$ de $2n - 1$ puntos distintos en un círculo. Suponga que exactamente $k$ de estos puntos deben ser coloreados de negro. Tal coloración es buena si existe al menos un par de puntos negros tales que el interior de uno de los arcos entre ellos contiene exactamente $n$ puntos de $E$. Encuentre el valor más pequeño de $k$ tal que toda coloración de $k$ puntos de $E$ es buena.

Las cuerdas $AB$ y $CD$ de un círculo se intersecan en un punto $E$ dentro del círculo. Sea $M$ un punto interior del segmento $EB$. La recta tangente en $E$ al círculo que pasa por $D$, $E$ y $M$ interseca las rectas $BC$ y $AC$ en $F$ y $G$, respectivamente. Si \[ \frac {AM}{AB} = t, \] encuentre $\frac {EG}{EF}$ en términos de $t$.

Para cada entero positivo fijo $n$ , $n\geq 4$ y $P$ un entero, sea $(P)_n \in [1, n]$ el residuo positivo más pequeño de $P$ módulo $n$ . Dos secuencias $a_1, a_2, \dots, a_k$ y $b_1, b_2, \dots, b_k$ con los términos en $[1, n]$ se definen como equivalentes, si existe $t$ entero positivo, mcd $(t,n)=1$ , tal que la secuencia $(ta_1)_n, \dots, (ta_k)_n$ es una permutación de $b_1, b_2, \dots, b_k$ . Sea $\alpha$ una secuencia de tamaño $n$ y sus términos están en $[1, n]$ , tal que cada término aparece $h$ veces en la secuencia $\alpha$ y $2h\geq n$ . Demuestre que $\alpha$ es equivalente a alguna secuencia $\beta$ que contiene una subsecuencia tal que su tamaño es (a lo sumo) igual a $h$ y su suma es exactamente igual a $n$ .

Sea $ABC$ un triángulo e $I$ su incentro, sea $P$ un punto en $AC$ tal que $PI$ es perpendicular a $AC$ , y sea $D$ la reflexión de $B$ con respecto al circuncentro de $\triangle ABC$ . La línea $DI$ interseca nuevamente a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en el punto $Q$ . Demuestre que $QP$ es la bisectriz del ángulo $\angle AQC$ .

¿Existe un número $n$ tal que uno pueda escribir $n$ como la suma de $2017$ cuadrados perfectos y (con al menos) $2017$ maneras distintas?

Demuestre que existen infinitos pares de enteros positivos $(m,n)$ , con $m<n$ , tal que $m$ divide a $n^{2016}+n^{2015}+\dots+n^2+n+1$ y $n$ divide a $m^{2016}+m^{2015} +\dots+m^2+m+1$ .

Uno tiene $n$ círculos distintos (con el mismo radio) tal que para cualquier $k+1$ círculos hay (al menos) dos círculos que se intersecan en dos puntos. Demuestre que para cada línea $l$ uno puede hacer $k$ líneas, cada una paralela a $l$ , tal que cada círculo tiene (al menos) un punto de intersección con alguna de estas líneas.

Sea $a$ un entero positivo fijo. Encuentre el entero más grande $b$ tal que $(x+a)(x+b)=x+a+b$ , para algún entero $x$ .

Encuentra todos los $a , b , c \in \mathbb{N}$ para los cuales \[1997^a+15^b=2012^c\]

Si $a$ , $b$ , $c$ , $d$ son enteros y $A=2(a-2b+c)^4+2(b-2c+a)^4+2(c-2a+b)^4$ , $B=d(d+1)(d+2)(d+3)+1$ , entonces prueba que $\left (\sqrt{A}+1 \right )^2 +B$ no puede ser un cuadrado perfecto.