Para cualquier permutación $p$ del conjunto $\{1, 2, \ldots, n\}$ , define $d(p) = |p(1) - 1| + |p(2) - 2| + \ldots + |p(n) - n|$ . Denotamos por $i(p)$ el número de pares de enteros $(i, j)$ en la permutación $p$ tales que $1 \leqq i < j \leq n$ y $p(i) > p(j)$ . Encontrar todos los números reales $c$ , tales que la desigualdad $i(p) \leq c \cdot d(p)$ se cumple para cualquier entero positivo $n$ y cualquier permutación $p$.

En un grupo de matemáticos, cada matemático tiene algunos amigos (la relación de amistad es recíproca). Demostrar que existe un matemático, tal que el promedio del número de amigos de todos sus amigos no es menor que el promedio del número de amigos de todos estos matemáticos.

Sean $p, k$ y $x$ enteros positivos tales que $p \geq k$ y $x < \left[ \frac{p(p-k+1)}{2(k-1)} \right]$ , donde $[q]$ es el entero más grande que no es mayor que $q$ . Demostrar que cuando se colocan $x$ bolas en $p$ cajas arbitrariamente, existen $k$ cajas con el mismo número de bolas.

Sea $\{ a_1, a_2, \ldots, a_n\} = \{1, 2, \ldots, n\}$ . Demuestra que \[\frac 12 +\frac 23 +\cdots+\frac{n-1}{n} \leq \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} +\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}.\]

Sean $a, b, c$ las longitudes de los lados y $P$ el área de un triángulo, respectivamente. Demostrar que \[(a^2+b^2+c^2-4\sqrt 3 P) (a^2+b^2+c^2) \geq 2 \left(a^2(b - c)^2 + b^2(c - a)^2 + c^2(a - b)^2\right).\]

Sea $S$ el incentro del triángulo $ABC$. $A_1, B_1, C_1$ son las intersecciones de $AS, BS, CS$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ respectivamente. Demostrar que $SA_1 + SB_1 + SC_1 \geq SA + SB + SC.$

Pruebe que existe un 1990-gono convexo con las siguientes dos propiedades:\na.) Todos los ángulos son iguales.\nb.) Las longitudes de los 1990 lados son los números $1^2$, $2^2$, $3^2$, $\cdots$, $1990^2$ en algún orden.

Dado un entero inicial $n_0 > 1$, dos jugadores, ${\mathcal A}$ y ${\mathcal B}$, eligen enteros $n_1$, $n_2$, $n_3$, $\ldots$ alternativamente de acuerdo con las siguientes reglas:\nI.) Conociendo $n_{2k}$, ${\mathcal A}$ elige cualquier entero $n_{2k + 1}$ tal que \[ n_{2k} \leq n_{2k + 1} \leq n_{2k}^2. \]\nII.) Conociendo $n_{2k + 1}$, ${\mathcal B}$ elige cualquier entero $n_{2k + 2}$ tal que \[ \frac {n_{2k + 1}}{n_{2k + 2}} \] es un primo elevado a una potencia entera positiva. El jugador ${\mathcal A}$ gana el juego al elegir el número 1990; el jugador ${\mathcal B}$ gana al elegir el número 1. Para qué $n_0$ :\na.) ${\mathcal A}$ tiene una estrategia ganadora?\nb.) ${\mathcal B}$ tiene una estrategia ganadora?\nc.) Ninguno de los jugadores tiene una estrategia ganadora?

Sea ${\mathbb Q}^ +$ el conjunto de números racionales positivos. Construya una función $f : {\mathbb Q}^ + \rightarrow {\mathbb Q}^ +$ tal que \[ f(xf(y)) = \frac {f(x)}{y} \] para todo $x$, $y$ en ${\mathbb Q}^ +$.

Determine todos los enteros $n > 1$ tales que \[ \frac {2^n + 1}{n^2} \] es un entero.