Sea $ f(0) = f(1) = 0$ y \[ f(n+2) = 4^{n+2} \cdot f(n+1) - 16^{n+1} \cdot f(n) + n \cdot 2^{n^2}, \quad n = 0, 1, 2, \ldots\] Muestre que los números $ f(1989), f(1990), f(1991)$ son divisibles por $ 13.$

Sea $O$ un punto interior al triángulo $ABC$. A través de $O$, dibuje tres líneas $DE \parallel BC, FG \parallel CA$ , y $HI \parallel AB$ , donde $D, G$ están en $AB$ , $I, F$ están en $BC$ y $E, H$ están en $CA$. Denotemos por $S_1$ el área del hexágono $DGHEFI$ , y $S_2$ el área del triángulo $ABC$ . Demuestre que $S_1 \geq \frac 23 S_2.$

¿Podría el espacio tridimensional expresarse como la unión de circunferencias disjuntas?

Dado un entero inicial $ n_0 > 1$ , dos jugadores, $ {\mathcal A}$ y $ {\mathcal B}$ , eligen enteros $ n_1$ , $ n_2$ , $ n_3$ , $ \ldots$ alternativamente de acuerdo con las siguientes reglas :\nI.) Conociendo $ n_{2k}$ , $ {\mathcal A}$ elige cualquier entero $ n_{2k + 1}$ tal que\n\[ n_{2k} \leq n_{2k + 1} \leq n_{2k}^2.\n\] II.) Conociendo $ n_{2k + 1}$ , $ {\mathcal B}$ elige cualquier entero $ n_{2k + 2}$ tal que\n\[ \frac {n_{2k + 1}}{n_{2k + 2}}\n\] es un primo elevado a una potencia entera positiva.\nEl jugador $ {\mathcal A}$ gana el juego eligiendo el número 1990; el jugador $ {\mathcal B}$ gana eligiendo el número 1.\n¿Para qué $ n_0$ :\na.) $ {\mathcal A}$ tiene una estrategia ganadora?\nb.) $ {\mathcal B}$ tiene una estrategia ganadora?\nc.) ¿Ningún jugador tiene una estrategia ganadora?

Encuentre, con prueba, el menor entero positivo $n$ que tiene la siguiente propiedad: en la representación binaria de $ \frac 1n$ , todas las representaciones binarias de $1, 2, \ldots, 1990$ (cada una consiste en dígitos consecutivos) aparecen después del punto decimal.

1990 matemáticos asisten a una reunión, cada matemático tiene al menos 1327 amigos (la relación de amistad es recíproca). Demuestre que existen cuatro matemáticos entre ellos tales que dos cualesquiera de ellos son amigos.

Llamamos a un entero $k \geq 1$ que tiene la propiedad $P$ , si existe al menos un entero $m \geq 1$ que no puede expresarse de la forma $m = \varepsilon_1 z_1^k + \varepsilon_2 z_2^k + \cdots + \varepsilon_{2k} z_{2k}^k $ , donde $z_i$ son enteros no negativos y $\varepsilon _i = 1$ o $-1$ , $i = 1, 2, \ldots, 2k$ . Demuestre que hay infinitos enteros $k$ que tienen la propiedad $P.$

Dado un triángulo $ ABC$. Sean $ G$ , $ I$ , $ H$ el baricentro, el incentro y el ortocentro del triángulo $ ABC$ , respectivamente. Demuestre que $ \angle GIH > 90^{\circ}$ .

Llamamos a un conjunto $S$ en la recta real $R$ 'superinvariante', si para cualquier estiramiento $A$ del conjunto $S$ por la transformación que lleva $x$ a $A(x) = x_0 + a(x - x_0)$ , donde $a > 0$ , existe una transformación $B, B(x) = x + b$ , tal que las imágenes de $S$ bajo $A$ y $B$ coinciden; es decir, para cualquier $x \in S$ , existe $y \in S$ tal que $A(x) = B(y)$ , y para cualquier $t \in S$ , existe un $u \in S$ tal que $B(t) = A(u).$ Determinar todos los conjuntos superinvariantes.

Seis ciudades $A, B, C, D, E$ y $F$ están ubicadas en los vértices de un hexágono regular en ese orden. $G$ es el centro del hexágono. Los lados del hexágono son las carreteras que conectan estas ciudades. Además, hay carreteras que conectan las ciudades $B, C, E, F$ y $G$ , respectivamente. Debido a la lluvia, una o más carreteras pueden estar destruidas. La probabilidad de que la carretera se mantenga intacta entre dos ciudades consecutivas es $p$ . Determinar la probabilidad de que la carretera entre las ciudades $A$ y $D$ no esté destruida.