Usando las siguientes cinco figuras, ¿se puede construir un paralelepípedo, cuyas longitudes laterales sean todas enteros mayores que $1$ y tenga un volumen de $1990$ ? (En la figura, cada cuadrado representa un cubo unitario.)\n\[\text{Los cuadrados son iguales y todos son } \Huge{1 \times 1}\]\n[asy]\nimport graph; size(400); real lsf = 0.5; pen dp = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dp); pen ds = black; pen xdxdff = rgb(0.49,0.49,1);\ndraw((2,4)--(0,4),linewidth(2pt)); draw((0,4)--(0,0),linewidth(2pt)); draw((0,0)--(2,0),linewidth(2pt)); draw((2,0)--(2,1),linewidth(2pt)); draw((2,1)--(0,1),linewidth(2pt)); draw((1,0)--(1,4),linewidth(2pt)); draw((2,4)--(2,3),linewidth(2pt)); draw((2,3)--(0,3),linewidth(2pt)); draw((0,2)--(1,2),linewidth(2pt));\nlabel('(1)', (0.56,-1.54), SE*lsf); draw((4,2)--(4,1),linewidth(2pt)); draw((7,2)--(7,1),linewidth(2pt)); draw((4,2)--(7,2),linewidth(2pt)); draw((4,1)--(7,1),linewidth(2pt)); draw((6,0)--(6,3),linewidth(2pt)); draw((5,3)--(5,0),linewidth(2pt)); draw((5,0)--(6,0),linewidth(2pt)); draw((5,3)--(6,3),linewidth(2pt)); label('(2)', (5.13,-1.46), SE*lsf); draw((9,0)--(9,3),linewidth(2pt)); draw((10,3)--(10,0),linewidth(2pt)); draw((12,3)--(12,0),linewidth(2pt)); draw((11,0)--(11,3),linewidth(2pt)); draw((9,2)--(12,2),linewidth(2pt)); draw((12,1)--(9,1),linewidth(2pt)); draw((9,3)--(10,3),linewidth(2pt)); draw((11,3)--(12,3),linewidth(2pt)); draw((12,0)--(11,0),linewidth(2pt)); draw((9,0)--(10,0),linewidth(2pt)); label('(3)', (10.08,-1.48), SE*lsf); draw((14,1)--(17,1),linewidth(2pt)); draw((15,2)--(17,2),linewidth(2pt)); draw((15,2)--(15,0),linewidth(2pt)); draw((15,0)--(14,0)); draw((14,1)--(14,0),linewidth(2pt)); draw((16,2)--(16,0),linewidth(2pt)); label('(4)', (15.22,-1.5), SE*lsf); draw((14,0)--(16,0),linewidth(2pt)); draw((17,2)--(17,1),linewidth(2pt)); draw((19,3)--(19,0),linewidth(2pt)); draw((20,3)--(20,0),linewidth(2pt)); draw((20,3)--(19,3),linewidth(2pt)); draw((19,2)--(20,2),linewidth(2pt)); draw((19,1)--(20,1),linewidth(2pt)); draw((20,0)--(19,0),linewidth(2pt)); label('(5)', (19.11,-1.5), SE*lsf); dot((0,0),ds); dot((0,1),ds); dot((0,2),ds); dot((0,3),ds); dot((0,4),ds); dot((1,4),ds); dot((2,4),ds); dot((2,3),ds); dot((1,3),ds); dot((1,2),ds); dot((1,1),ds); dot((2,1),ds); dot((2,0),ds); dot((1,0),ds); dot((5,0),ds); dot((6,0),ds); dot((5,1),ds); dot((6,1),ds); dot((5,2),ds); dot((6,2),ds); dot((5,3),ds); dot((6,3),ds); dot((7,2),ds); dot((7,1),ds); dot((4,1),ds); dot((4,2),ds); dot((9,0),ds); dot((9,1),ds); dot((9,2),ds); dot((9,3),ds); dot((10,0),ds); dot((11,0),ds); dot((12,0),ds); dot((10,1),ds); dot((10,2),ds); dot((10,3),ds); dot((11,1),ds); dot((11,2),ds); dot((11,3),ds); dot((12,1),ds); dot((12,2),ds); dot((12,3),ds); dot((14,0),ds); dot((15,0),ds); dot((16,0),ds); dot((15,1),ds); dot((14,1),ds); dot((16,1),ds); dot((15,2),ds); dot((16,2),ds); dot((17,2),ds); dot((17,1),ds); dot((19,0),ds); dot((20,0),ds); dot((19,1),ds); dot((20,1),ds); dot((19,2),ds); dot((20,2),ds); dot((19,3),ds); dot((20,3),ds); clip((-0.41,-10.15)--(-0.41,8.08)--(21.25,8.08)--(21.25,-10.15)--cycle);\n[/asy]

Sea $S = \{1, 2, \ldots, 1990\}$. Un subconjunto de $31$ elementos de $S$ se llama 'bueno' si la suma de sus elementos es divisible por $5$. Encuentra el número de subconjuntos buenos de $S$.

Sean $AB$ y $CD$ cuerdas de un círculo que se intersectan en un punto $E$ dentro del círculo. Sea $M$ un punto interior del segmento $EB$. La línea tangente en $E$ al círculo que pasa por $D$, $E$ y $M$ intersecta las líneas $BC$ y $AC$ en $F$ y $G$, respectivamente. Si\n\[ \frac {AM}{AB} = t,\n\]encuentra $\frac {EG}{EF}$ en términos de $t$.

La función $f(n), n \in \mathbb N$ , se define de la siguiente manera: Sea $\frac{(2n)!}{n!(n+1000)!} = \frac{A(n)}{B(n)}$ , donde $A(n), B(n)$ son enteros positivos coprimos; si $B(n) = 1$ , entonces $f(n) = 1$ ; si $B(n) \neq 1$ , entonces $f(n)$ es el factor primo más grande de $B(n)$ . Demostrar que los valores de $f(n)$ son finitos, y encontrar el valor máximo de $f(n).$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo arbitrario. El círculo $\Gamma$ satisface las siguientes condiciones: (i) El círculo $\Gamma$ interseca los tres lados del triángulo $ABC$. (ii) En el hexágono convexo formado por las seis intersecciones anteriores, los tres pares de lados opuestos son paralelos respectivamente. (El hexágono puede ser degenerado, es decir, dos o más vértices coinciden. En este caso, 'lados opuestos son paralelos' se define a través de una opinión límite.) Encontrar el lugar geométrico del centro del círculo $\Gamma$ , y explicar cómo construir el lugar geométrico.

Un plano corta un cono circular recto de volumen $V$ en dos partes. El plano es tangente a la circunferencia de la base del cono y pasa por el punto medio de la altura. Hallar el volumen de la parte más pequeña.

Demostrar que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que el número $\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n}$ es un cuadrado perfecto. Obviamente, $1$ es el menor entero que tiene esta propiedad. Encontrar los dos siguientes enteros más pequeños que tienen esta propiedad.

Sea $K$ el incentro del triángulo $ABC$. Sea $C_1$ el punto medio de $AB$ y $B_1$ el punto medio de $AC$. Las rectas $C_1K$ y $AC$ se intersecan en $B_2$, las rectas $B_1K$ y $AB$ en $C_2$. Si las áreas de los triángulos $AB_2C_2$ y $ABC$ son iguales, ¿cuál es la medida del ángulo $\angle CAB$?

Encuentre el número real $t$ , tal que el siguiente sistema de ecuaciones tiene una única solución real $(x, y, z, v)$ : \[ \left\{\begin{array}{cc}x+y+z+v=0\ (xy + yz +zv)+t(xz+xv+yv)=0\end{array}\right. \]

Para un entero positivo dado $ k$ denote el cuadrado de la suma de sus dígitos por $ f_1(k)$ y sea $ f_{n+1}(k) = f_1(f_n(k)).$ Determine el valor de $ f_{1991}(2^{1990}).$