Encontrar $n$ puntos $p_1, p_2, \ldots, p_n$ en la circunferencia de un círculo unitario, tal que $\sum_{1\leq i< j \leq n} p_i p_j$ sea maximal.

Sea $n$ un entero positivo arbitrario. Calcular $S_n = \sum_{r=0}^n 2^{r-2n} \binom{2n-r}{n}.$

Dados tres letras $X, Y, Z$, podemos construir secuencias de letras arbitrariamente, tales como $XZ, ZZYXYY, XXYZX$, etc. Para cualquier secuencia dada, podemos realizar las siguientes operaciones:\n$T_1$ : Si la letra más a la derecha es $Y$, entonces podemos agregar $YZ$ después de ella, por ejemplo, $T_1(XYZXXY) = (XYZXXYYZ)$.\n$T_2$ : Si la secuencia contiene $YYY$, podemos reemplazarlos por $Z$, por ejemplo, $T_2(XXYYZYYYX) = (XXYYZZX)$.\n$T_3$ : Podemos reemplazar $Xp$ ( $p$ es cualquier sub-secuencia) por $XpX$, por ejemplo, $T_3(XXYZ) = (XXYZX)$.\n$T_4$ : En una secuencia que contiene uno o más $Z$, podemos reemplazar el primer $Z$ por $XY$, por ejemplo, $T_4(XXYYZZX) = (XXYYXYZX)$.\n$T_5$ : Podemos reemplazar cualquiera de $XX, YY, ZZ$ por $X$, por ejemplo, $T_5(ZZYXYY) = (XYXX)$ o $(XYXYY)$ o $(ZZYXX)$.\nUsando las operaciones anteriores, ¿podemos obtener $XYZZ$ de $XYZ$?

Sean $a, b, c$ enteros. Demostrar que existen enteros $p_1, q_1, r_1, p_2, q_2$ y $r_2$ , que satisfacen $a = q_1r_2 - q_2r_1, b = r_1p_2 - r_2p_1$ y $c = p_1q_2 - p_2q_1.$

Sea $\alpha$ la raíz positiva de la ecuación cuadrática $x^2 = 1990x + 1$ . Para cualesquiera $m, n \in \mathbb N$ , defina la operación $m*n = mn + [\alpha m][ \alpha n]$ , donde $[x]$ es el entero más grande no mayor que $x$ . Demostrar que $(p*q)*r = p*(q*r)$ se cumple para todo $p, q, r \in \mathbb N.$

Un matemático excéntrico tiene una escalera con $ n$ peldaños que siempre sube y baja de la siguiente manera: Cuando asciende, cada paso que da cubre $ a$ peldaños de la escalera, y cuando desciende, cada paso que da cubre $ b$ peldaños de la escalera, donde $ a$ y $ b$ son enteros positivos fijos. Mediante una secuencia de pasos ascendentes y descendentes, puede subir desde el nivel del suelo hasta el peldaño superior de la escalera y volver a bajar al nivel del suelo. Encuentra, con prueba, el valor mínimo de $ n,$ expresado en términos de $ a$ y $ b.$

Sea $ ABC$ un triángulo, y sean las bisectrices de sus ángulos $ CAB$ y $ ABC$ que intersecan a los lados $ BC$ y $ CA$ en los puntos $ D$ y $ F$ , respectivamente. Las rectas $ AD$ y $ BF$ se intersecan con la recta que pasa por el punto $ C$ paralela a $ AB$ en los puntos $ E$ y $ G$ respectivamente, y tenemos $ FG = DE$ . Demostrar que $ CA = CB$ . Formulación original: Sea $ ABC$ un triángulo y $ L$ la recta que pasa por $ C$ paralela al lado $ AB.$ Sea la bisectriz interna del ángulo en $ A$ que intersecta al lado $ BC$ en $ D$ y a la recta $ L$ en $ E$ y sea la bisectriz interna del ángulo en $ B$ que intersecta al lado $ AC$ en $ F$ y a la recta $ L$ en $ G.$ Si $ GF = DE,$ demostrar que $ AC = BC.$

Demostrar que si $|x| < 1$ , entonces \[ \frac{x}{(1-x)^2}+\frac{x^2}{(1+x^2)^2} + \frac{x^3}{(1-x^3)^2}+\cdots=\frac{x}{1-x}+\frac{2x^2}{1+x^2}+\frac{3x^3}{1-x^3}+\cdots\]

Hay $n$ puntos no coplanares en el espacio. Demuestra que existe un círculo que pasa exactamente por tres puntos de ellos.

Sea S un conjunto de 1990 elementos y P un conjunto de secuencias de 100-arias $(a_1,a_2,...,a_{100})$, donde $a_i's$ son elementos distintos de S. Un par ordenado (x,y) de elementos de S se dice que aparece en $(a_1,a_2,...,a_{100})$ si $x=a_i$ y $y=a_j$ para algunos i,j con $1\leq i<j\leq 100$. Asume que cada par ordenado (x,y) de elementos de S aparece en a lo sumo un miembro en P. Demuestra que $|P|\leq 800$.