Sean los números reales $a_1, a_2, \ldots, a_n$ satisfacen $0 < a_i \leq a, \ i = 1, 2, \ldots, n$ . Pruebe que\n\n(i) Si $n = 4$ , entonces \[\frac 1a \sum_{i=1}^4 a_i - \frac{a_1a_2 + a_2a_3 + a_3 a_4 + a_4 a_1}{a^2} \leq 2.\]\n\n(ii) Si $n = 6$ , entonces \[\frac 1a \sum_{i=1}^6 a_i - \frac{a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_5 a_6 + a_6 a_1}{a^2} \leq 3.\]

Determine para qué enteros positivos $k$ el conjunto \[ X = \{1990, 1990 + 1, 1990 + 2, \ldots, 1990 + k\}\] puede ser particionado en dos subconjuntos disjuntos $A$ y $B$ tales que la suma de los elementos de $A$ es igual a la suma de los elementos de $B.$

Durante el intervalo de clase, $n$ niños se sientan en un círculo y juegan el juego que se describe a continuación. El maestro recorre a los niños en el sentido de las agujas del reloj y les entrega dulces de acuerdo con las siguientes reglas:\n\nSeleccione un niño, déle un caramelo; y déle también un caramelo al niño que está al lado del primer niño; luego salte un niño y déle un caramelo al siguiente niño; luego salte dos niños; déle un caramelo al siguiente niño; luego salte tres niños; déle un caramelo al siguiente niño;...\n\nEncuentre el valor de $n$ para el cual el maestro puede asegurarse de que cada niño obtenga al menos un caramelo eventualmente (tal vez después de muchos círculos).

$AB, AC$ son dos cuerdas del círculo con centro en $O$. El diámetro, que es perpendicular a $BC$, intersecta a $AB, AC$ en $F, G$ respectivamente ( $F$ está en el círculo). La tangente desde $G$ es tangente al círculo en $T$. Demuestra que $F$ es la proyección de $T$ en $OG.

Demuestra que $\sqrt 2 +\sqrt 3 +\sqrt{1990}$ es irracional.

En el plano coordenado se da un rectángulo con vértices $ (0, 0),$ $ (m, 0),$ $ (0, n),$ $ (m, n)$ donde tanto $ m$ como $ n$ son enteros impares. El rectángulo se divide en triángulos de tal manera que\n(i) cada triángulo en la partición tiene al menos un lado (que se llamará lado 'bueno') que se encuentra en una línea de la forma $ x = j$ o $ y = k,$ donde $ j$ y $ k$ son enteros, y la altitud en este lado tiene longitud 1;\n(ii) cada lado 'malo' (es decir, un lado de cualquier triángulo en la partición que no es 'bueno') es un lado común de dos triángulos en la partición. Demuestra que existen al menos dos triángulos en la partición, cada uno de los cuales tiene dos lados buenos.

Para cada $P$ dentro del triángulo $ABC$, sean $A(P), B(P)$ y $C(P)$ los puntos de intersección de las líneas $AP, BP$ y $CP$ con los lados opuestos a $A, B$ y $C$, respectivamente. Determinar $P$ de tal manera que el área del triángulo $A(P)B(P)C(P)$ sea lo más grande posible.

El turista en una isla puede jugar al juego de 'obtener el tesoro'. Tiene que abrir una serie de puertas, cada puerta está coloreada con uno de n colores, de acuerdo con las siguientes reglas:\n(i) El turista tiene n llaves, cada llave con un color diferente.\n(ii) Una vez que se usa una llave, no está permitido cambiarla hasta que se destruya.\n(iii) Cada llave puede abrir cualquier puerta, y permanece intacta cuando abre la puerta que tiene un color diferente al suyo, pero se destruye cuando abre la puerta que tiene el mismo color que ella. Encuentra el número mínimo de puertas para asegurar que ningún turista, sin importar cómo elija el orden de las llaves a usar, pueda obtener el tesoro.

Demostrar que para cualquier entero positivo $n$, el número de enteros impares entre los coeficientes binomiales $\binom nh \ ( 0 \leq h \leq n)$ es una potencia de 2.

Sea $V$ un conjunto finito de puntos en el espacio tridimensional. Sean $S_1, S_2, S_3$ los conjuntos que consisten en las proyecciones ortogonales de los puntos de $V$ sobre el plano $yz$, el plano $zx$, el plano $xy$, respectivamente. Demostrar que $| V|^2 \leq | S1|\cdot|S2|\cdot |S3|$ , donde $| A|$ denota el número de elementos en el conjunto finito $A.$