Sean $a, b \in \mathbb{N}$ con $1 \leq a \leq b,$ y $M = \left[\frac {a + b}{2} \right].$ Defina una función $ f: \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z}$ por \[ f(n) = \begin{cases} n + a, & \text{si } n \leq M, \ n - b, & \text{si } n >M. \end{cases} \]\nSea $ f^1(n) = f(n),$ $ f_{i + 1}(n) = f(f^i(n)),$ $ i = 1, 2, \ldots$ Encuentre el número natural más pequeño $ k$ tal que $ f^k(0) = 0.$

Demuestre que podemos rellenar el espacio tridimensional con tetraedros regulares y octaedros regulares, todos los cuales tienen las mismas longitudes de arista. También encuentre la razón entre el número de tetraedros regulares utilizados y el número de octaedros regulares utilizados.

Se construyen 60 cubos unitarios en cuentas perforando un agujero a través de ellos a lo largo de una diagonal. Las cuentas se colocan en una cuerda de tal manera que puedan moverse libremente en el espacio bajo la restricción de que los vértices de dos cubos vecinos se toquen. Sea $A$ el vértice inicial y $B$ el vértice final. Sean $p \times q \times r$ cubos en la cuerda $ (p, q, r \geq 1).$\n(a) Determine para qué valores de $p, q,$ y $r$ es posible construir un bloque con dimensiones $p, q,$ y $r.$ Justifique sus respuestas.\n(b) La misma pregunta que en (a) con la condición adicional de que $A = B.$

Dados ocho números reales $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_7 \leq a_8$ . Sea $x = \frac{ a_1 + a_2 + \cdots + a_7 + a_8}{8}$ , $y = \frac{ a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_7^2 + a_8^2}{8}$ . Pruebe que \[2 \sqrt{y-x^2} \leq a_8 - a_1 \leq 4 \sqrt{y-x^2}.\]

Pruebe que existe un 1990-gono convexo con las siguientes dos propiedades: a.) Todos los ángulos son iguales. b.) Las longitudes de los 1990 lados son los números $ 1^2$ , $ 2^2$ , $ 3^2$ , $ \cdots$ , $ 1990^2$ en algún orden.

La secuencia $\{u_n\}$ está definida por $u_1 = 1, u_2 = 1, u_n = u_{n-1} + 2u_{n-2} \text{ para } n \geq 3$. Pruebe que para cualquier entero positivo $n, p \ (p > 1), u_{n+p} = u_{n+1}u_{p} + 2u_nu_{p-1}$. También encuentre el máximo común divisor de $u_n$ y $u_{n+3}.$

Para enteros positivos $n, p$ con $n \geq p$, defina el número real $K_{n, p}$ de la siguiente manera: $K_{n, 0} = \frac{1}{n+1}$ y $K_{n, p} = K_{n-1, p-1} -K_{n, p-1}$ para $1 \leq p \leq n$. (i) Defina $S_n = \sum_{p=0}^n K_{n,p} , \ n = 0, 1, 2, \ldots$ . Encuentre $\lim_{n \to \infty} S_n.$ (ii) Encuentre $T_n = \sum_{p=0}^n (-1)^p K_{n,p} , \ n = 0, 1, 2, \ldots$ .

Dados los puntos $A, M, M_1$ y el número racional $\lambda \neq -1$. Construir el triángulo $ABC$, tal que $M$ se encuentra en $BC$ y $M_1$ se encuentra en $B_1C_1$ ($B_1, C_1$ son las proyecciones de $B, C$ en $AC, AB$ respectivamente), y $\frac{BM}{MC}=\frac{B_1M_1}{M_1C_1}=\lambda.$

Sea $M = \{1, 2, \ldots, n\}$ y $\phi : M \to M$ una biyección.\n\n(i) Pruebe que existen biyecciones $\phi_1, \phi_2 : M \to M$ tales que $\phi_1 \cdot \phi_2 = \phi , \phi_1^2 =\phi_2^2=E$ , donde $E$ es la función identidad.\n\n(ii) Pruebe que la conclusión en (i) también es verdadera si $M$ es el conjunto de todos los enteros positivos.

Encuentre la(s) solución(es) real(es) para el sistema de ecuaciones\n\[\begin{cases}x^3+y^3 &=1\\x^5+y^5 &=1\end{cases}\]