Sea $n \geq 5$ un entero positivo. $a_1, b_1, a_2, b_2, \ldots, a_n, b_n$ son enteros. Los pares $(a_i, b_i)$ son distintos por parejas para $i = 1, 2, \ldots, n$, y $|a_1b_2 - a_2b_1| = |a_2b_3 -a_3b_2| = \cdots = |a_{n-1}b_n -a_nb_{n-1}| = 1$ . Demostrar que existe un par de índices $i, j$ que satisfacen $2 \leq |i - j| \leq n - 2$ y $|a_ib_j -a_jb_i| = 1.$

Dado un punto $P = (p_1, p_2, \ldots, p_n)$ en un espacio de dimensión $n$. Hallar el punto $X = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$, tal que $x_1 \leq x_2 \leq\cdots \leq x_n$ y $\sqrt{(x_1-p_1)^2 + (x_2-p_2)^2+\cdots+(x_n-p_n)^2}$ sea mínimo.

Sea $BC$ un segmento, $M$ un punto en $BC$, $A$ un punto tal que $A, B, C$ no son colineales. (i) Demostrar que si $M$ es el punto medio de $BC$, entonces $AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2).$ (ii) Si existe otro punto (excepto $M$) en el segmento $BC$ que satisface (i), hallar la región que podría ocupar el punto $A$.

Considere el conjunto de cuboides: las tres aristas $a, b, c$ desde un vértice común satisfacen la condición \n\n$\frac ab = \frac{a^2}{c^5}$\n\n(i) Demostrar que hay $100$ pares de cuboides en este conjunto con volúmenes iguales en cada par.\n(ii) Para cada par de los cuboides anteriores, hallar la razón de la suma de sus aristas.

En el plano coordenado, un punto variable $M$, partiendo del origen $O(0, 0)$, se mueve sobre la línea $l$ con pendiente $k$, donde $k$ es un número irracional.\n(i) Demostrar que el punto $O(0, 0)$ es el único punto racional (es decir, las coordenadas del cual son ambas racionales) en la línea $l$.\n(ii) Demostrar que para cualquier número $\varepsilon > 0$, existen enteros $m, n$ tales que la distancia entre $l$ y el punto $(m, n)$ es menor que $\varepsilon$.

Sean $a + bi$ y $c + di$ dos raíces de la ecuación $x^n = 1990$, donde $n \geq 3$ es un entero y $a,b,c,d \in \mathbb R$. Bajo la transformación lineal $f =\left(\begin{array}{cc}a&c\b &d\end{array}\right)$, tenemos que $(2, 1) \to (1, 2)$. Denotemos por $r$ la distancia desde la imagen de $(2, 2)$ al origen. Hallar el rango de $r.$

Hallar todas las funciones continuas acotadas $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tales que \n\n$(f(x))^2 -(f(y))^2 = f(x + y)f(x - y)$ para toda $ x, y \in \mathbb R.$

Demostrar que todo entero $k$ mayor que 1 tiene un múltiplo que es menor que $k^4$ y se puede escribir en el sistema decimal con a lo sumo cuatro dígitos diferentes.

Dado un conjunto $M$ de $m$ elementos y un subconjunto $K \subset M$ de $k$ elementos. Llamamos a una función $f: K \to M$ 'tiene camino', si existe un elemento $x_0 \in K$ tal que $f(x_0) = x_0$, o existe una cadena $x_0, x_1, \ldots, x_j = x_0 \in K$ tal que $x_i = f(x_{i-1})$ para $i = 1, 2, \ldots, j$. Encuentre el número de funciones $f: K \to M$ que tienen camino.

Sea $P$ un punto dentro de un tetraedro regular $T$ de volumen unitario. Los cuatro planos que pasan por $P$ y son paralelos a las caras de $T$ dividen a $T$ en 14 piezas. Sea $f(P)$ el volumen conjunto de aquellas piezas que no son ni un tetraedro ni un paralelepípedo (es decir, piezas adyacentes a una arista pero no a un vértice). Encuentre los límites exactos para $f(P)$ cuando $P$ varía sobre $T.$