En un triángulo, una simediana es una línea que pasa por un vértice que es simétrica a la mediana con respecto a la bisectriz interna (todo relativo al mismo vértice). En el triángulo $ABC$ , la mediana $m_a$ se encuentra con $BC$ en $A'$ y la circunferencia circunscrita nuevamente en $A_1$ . La simediana $s_a$ se encuentra con $BC$ en $M$ y la circunferencia circunscrita nuevamente en $A_2$ . Dado que la línea $A_1A_2$ contiene el circuncentro $O$ del triángulo, demuestre que: (a) $\frac{AA'}{AM} = \frac{b^2+c^2}{2bc} ;$ (b) $1+4b^2c^2 = a^2(b^2+c^2)$

Un círculo de radio $\rho$ es tangente a los lados $AB$ y $AC$ del triángulo $ABC$ , y su centro $K$ está a una distancia $p$ de $BC$ . (a) Demuestra que $a(p - \rho) = 2s(r - \rho)$ , donde $r$ es el inradio y $2s$ el perímetro de $ABC$ . (b) Demuestra que si el círculo intersecta a $BC$ en $D$ y $E$ , entonces \[DE=\frac{4\sqrt{rr_1(\rho-r)(r_1-\rho)}}{r_1-r}\] donde $r_1$ es el exradio correspondiente al vértice $A.$

Sea la función $f(x, y): \mathbb N \times \mathbb N \to \mathbb Q$ que satisface las condiciones: (i) $f(1, 1) =1$ , (ii) $f(p + 1, q) + f(p, q + 1) = f(p, q)$ para todo $p, q \in \mathbb N$ , y (iii) $qf(p + 1, q) = pf(p, q + 1)$ para todo $p, q \in \mathbb N$ . Encuentra $f(1990, 31).$

Determina todos los enteros $n > 1$ tales que \[ \frac {2^n + 1}{n^2} \] es un entero.

Diez localidades son servidas por dos aerolíneas internacionales de tal manera que existe un servicio directo (sin escalas) entre dos cualesquiera de estas localidades y todos los horarios de las aerolíneas ofrecen un servicio de ida y vuelta entre las ciudades que sirven. Demuestra que al menos una de las aerolíneas puede ofrecer dos viajes de ida y vuelta disjuntos, cada uno con un número impar de aterrizajes.

Sean $a, b, c \in \mathbb R$ . Demuestra que \[(a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2) \geq (ab + bc + ca)^3.\] ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Demuestra que existen al menos dos cuadriláteros no congruentes, ambos con una circunferencia circunscrita, tales que tienen perímetros y áreas iguales.

Sea $n$ un número natural compuesto y $p$ un divisor propio de $n$. Encuentra la representación binaria del número natural más pequeño $N$ tal que \[ \frac{(1 + 2^p + 2^{n-p})N - 1}{2^n}\] sea un entero.

Sea $L$ un subconjunto en el plano coordenado definido por $L = \{(41x + 2y, 59x + 15y) | x, y \in \mathbb Z \}$, donde $\mathbb Z$ es el conjunto de los enteros. Demostrar que para cualquier paralelogramo con centro en el origen de coordenadas y área $1990$, existen al menos dos puntos de $L$ ubicados en él.

Sea $\mathbb Q$ el conjunto de todos los números racionales y $\mathbb R$ el conjunto de los números reales. La función $f: \mathbb Q \to \mathbb R$ satisface las siguientes condiciones: (i) $f(0) = 0$, y para cualquier $a \in Q, a \neq 0, f(a) > 0.$ (ii) $f(x + y) = f(x)f(y) \qquad \forall x,y \in \mathbb Q.$ (iii) $f(x + y) \leq \max\{f(x), f(y)\} \qquad \forall x,y \in \mathbb Q , x,y \neq 0.$ Sea $x$ un entero y $f(x) \neq 1$. Demostrar que $f(1 + x + x^2+ \cdots + x^n) = 1$ para cualquier entero positivo $n.$