Suponga que los puntos $X, Y, Z$ están ubicados en los lados $BC, CA$ y $AB$, respectivamente, del triángulo $ABC$ de tal manera que el triángulo $XYZ$ es similar al triángulo $ABC$. Demuestra que el ortocentro del triángulo $XYZ$ es el circuncentro del triángulo $ABC.$

Sea $p(x)$ un polinomio cúbico con coeficientes racionales. $q_1$, $q_2$, $q_3$, ... es una secuencia de racionales tal que $q_n = p(q_{n + 1})$ para todo $n$ positivo. Demuestra que para algún $k$, tenemos $q_{n + k} = q_n$ para todo $n$ positivo.

Dado un entero $n > 1$ y un número real $t \geq 1$. $P$ es un paralelogramo con cuatro vértices $(0, 0), (0, t), (tF_{2n+1}, tF_{2n}), (tF_{2n+1}, tF_{2n} + t)$. Aquí, ${F_n}$ es el $n$ - ésimo término de la secuencia de Fibonacci definida por $F_0 = 0, F_1 = 1$ y $F_{m+1} = F_m + F_{m-1}$. Sea $L$ el número de puntos integrales (cuyas coordenadas son enteros) interiores a $P$, y $M$ el área de $P$, que es $t^2F_{2n+1}.$ i) Demuestra que para cualquier punto integral $(a, b)$, existe un único par de enteros $(j, k)$ tal que $j(F_{n+1}, F_n) + k(F_n, F_{n-1}) = (a, b)$, es decir, $jF_{n+1} + kF_n = a$ y $jF_n + kF_{n-1} = b.$ ii) Usando i) o no, demuestra que $|\sqrt L-\sqrt M| \leq \sqrt 2.$

Sea $n$ un entero positivo. $S_1, S_2, \ldots, S_n$ son conjuntos disjuntos por pares, y $S_k $ tiene exactamente $k$ elementos $(k = 1, 2, \ldots, n)$. Definir $S = S_1\cup S_2\cup\cdots \cup S_n$. La función $f: S \to S $ asigna todos los elementos de $S_k$ a un elemento fijo de $S_k$ , $k = 1, 2, \ldots, n$. Hallar el número de funciones $g: S \to S$ que satisfacen $f(g(f(x))) = f(x).$

Sean $ w, x, y, z$ números reales no negativos tales que $ wx + xy + yz + zw = 1$. Demostrar que $ \frac {w^3}{x + y + z} + \frac {x^3}{w + y + z} + \frac {y^3}{w + x + z} + \frac {z^3}{w + x + y}\geq \frac {1}{3}$ .

Sea $m$ un entero impar positivo no divisible por $3$. Demostrar que $\left[4^m -(2+\sqrt 2)^m\right]$ es divisible por $112.$

Dada la función $f(x) = \sin x + \sin \pi x$ y el número positivo $d$. Demostrar que existe un número real $p$ tal que $|f(x + p) - f(x)| < d$ se cumple para todos los números reales $x$, y el valor de $p$ puede ser arbitrariamente grande.

Sean $A_1, A_2, \ldots, A_n (n \geq 4)$ $n$ conjuntos convexos en el plano. Sabiendo que cada tres conjuntos convexos tienen un punto en común. Demostrar que existe un punto que pertenece a todos los conjuntos.

Sea $n \geq 4$ un entero. $a_1, a_2, \ldots, a_n \in (0, 2n)$ son $n$ enteros distintos. Demuestra que existe un subconjunto del conjunto $\{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$ tal que la suma de sus elementos es divisible por $2n.$

El punto $D$ está en la hipotenusa $BC$ del triángulo rectángulo $ABC$ . Los inradios de los triángulos $ADB$ y $ADC$ son iguales. Demuestra que $S_{ABC} = AD^2$ , donde $S$ es la función de área.