Olimpiada Junior de los Balcanes 2020 Problema 1
Determine si existe un número natural $n$ para el cual $8^n + 47$ es primo.
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Olimpiada Matemática del Mediterráneo 1998 Problema 1
Un cuadrado $ABCD$ está inscrito en un círculo. Si $M$ es un punto en el arco más corto $AB$, demuestre que \[MC \cdot MD > 3\sqrt{3} \cdot MA \cdot MB.\]
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Olimpiada Matemática del Mediterráneo 1998 Problema 3
En un triángulo $ABC$, $I$ es el incentro y $D,E, F$ son los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con $BC,CA,AB$, respectivamente. La bisectriz del ángulo $BIC$ se encuentra con $BC$ en $M$, y la línea $AM$ interseca $EF$ en $P$. Demuestre que $DP$ biseca el ángulo $FDE$.
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Olimpiada Matemática del Mediterráneo 1998 Problema 2
Demuestre que el polinomio $z^{2n} + z^n + 1\ (n \in \mathbb{N})$ es divisible por el polinomio $z^2 + z + 1$ si y sólo si $n$ no es múltiplo de $3$.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas Listas Largas 1990 Problema 4
En el plano coordenado, llamamos a un punto $(x, y)$ 'punto reticular' si tanto $x$ como $y$ son enteros. Sabiendo que los vértices del triángulo $ABC$ son todos puntos reticulares, y que existe exactamente un punto reticular interior al triángulo $ABC$ (podría haber puntos reticulares en los lados de $ABC$). Demuestra que el área del triángulo $ABC$ no es mayor que $\frac 92.$
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Olimpiada Internacional de Matemáticas Listas Largas 1990 Problema 3
Las longitudes de los lados de dos equiláteros $ABC$ y $KLM$ son $1$ y $1/4$, respectivamente. Y el triángulo $KLM$ está ubicado dentro del triángulo $ABC$. Denotemos por $\Sigma$ la suma de las distancias desde $A$ a las líneas $KL, LM$ y $MK$. Encuentra la ubicación del triángulo $KLM$ cuando $\Sigma$ es máxima.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas Listas Largas 1990 Problema 2
Demuestra que en el plano coordenado es imposible dibujar una línea quebrada cerrada tal que (i) las coordenadas de cada vértice son racionales; (ii) la longitud de cada uno de sus bordes es 1; (iii) la línea tiene un número impar de vértices.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas Listas Largas 1990 Problema 1
Dado un tablero de ajedrez de $10 \times 10$ coloreado como blanco y negro alternativamente. Demuestra que para cualquier $46$ cuadrados unitarios sin bordes comunes, hay al menos $30$ cuadrados unitarios con el mismo color.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas - Listas Largas 1990 Problema 98
Encuentra todos los números naturales $n$ para los cuales todo número natural cuya representación decimal tiene $n - 1$ dígitos $1$ y un dígito $7$ es primo.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas - Listas Largas 1990 Problema 97
En el hexágono convexo $ABCDEF$, sabemos que $\angle BCA = \angle DEC = \angle AFB = \angle CBD = \angle EDF.$ Demuestra que $AB = CD = EF.$
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