Sean $ u_1, u_2, \ldots, u_m$, $ m$ vectores en el plano, cada uno de longitud $ \leq 1,$ con suma cero. Demuestra que uno puede ordenar $ u_1, u_2, \ldots, u_m$ como una secuencia $ v_1, v_2, \ldots, v_m$ tal que cada suma parcial $ v_1, v_1 + v_2, v_1 + v_2 + v_3, \ldots, v_1, v_2, \ldots, v_m$ tenga longitud menor o igual que $ \sqrt {5}.$

En un tetraedro dado $ ABCD$, sean $ K$ y $ L$ los centros de las aristas $ AB$ y $ CD$ respectivamente. Demuestra que todo plano que contiene la recta $ KL$ divide al tetraedro en dos partes de igual volumen.

Hallar el menor número natural $ n$ tal que, si el conjunto $ \{1,2, \ldots, n\}$ se divide arbitrariamente en dos subconjuntos no intersecantes, entonces uno de los subconjuntos contiene 3 números distintos tales que el producto de dos de ellos es igual al tercero.

Sea $ f(n)$ una función definida en el conjunto de todos los enteros positivos y que tiene sus valores en el mismo conjunto. Suponga que $ f(f(n) + f(m)) = m + n$ para todos los enteros positivos $ n,m.$ Hallar el posible valor para $ f(1988).$

Considerar 2 círculos concéntricos de radios $ R$ y $ r$ ( $ R > r$ ) con centro $ O.$ Fijar $ P$ en el círculo pequeño y considerar la cuerda variable $ PA$ del círculo pequeño. Los puntos $ B$ y $ C$ están en el círculo grande; $ B,P,C$ son colineales y $ BC$ es perpendicular a $ AP.$ i.) ¿Para qué valores de $ \angle OPA$ la suma $ BC^2 + CA^2 + AB^2$ es extremal? ii.) ¿Cuáles son las posibles posiciones de los puntos medios $ U$ de $ BA$ y $ V$ de $ AC$ cuando $ \angle OPA$ varía?

En el pentágono convexo $ ABCDE,$ los lados $ BC, CD, DE$ son iguales. Además, cada diagonal del pentágono es paralela a un lado ( $ AC$ es paralelo a $ DE$ , $ BD$ es paralelo a $ AE$ etc.). Demostrar que $ ABCDE$ es un pentágono regular.

Demostrar que el conjunto de soluciones de la desigualdad \[ \sum^{70}_{k = 1} \frac {k}{x - k} \geq \frac {5}{4} \] es una unión de intervalos disjuntos, la suma de cuya longitud es 1988.

Encuentra todos los números primos $p$ y $q$ tales que $$1 + \frac{p^q - q^p}{p + q}$$ es un número primo.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle BAC = 90^{\circ}$ y sea $E$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $BC$ . Sea $Z \ne A$ un punto en la línea $AB$ con $AB = BZ$ . Sea $(c)$ la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle AEZ$ . Sea $D$ el segundo punto de intersección de $(c)$ con $ZC$ y sea $F$ el punto antidiametral de $D$ con respecto a $(c)$ . Sea $P$ el punto de intersección de las líneas $FE$ y $CZ$ . Si la tangente a $(c)$ en $Z$ se encuentra con $PA$ en $T$ , demuestre que los puntos $T$ , $E$ , $B$ , $Z$ son concíclicos.

Encuentre todos los enteros positivos $a$ , $b$ , $c$ , y $p$ , donde $p$ es un número primo, tal que $73p^2 + 6 = 9a^2 + 17b^2 + 17c^2$ .