Sea $ p$ el producto de dos enteros consecutivos mayores que 2. Demuestra que no existen enteros $ x_1, x_2, \ldots, x_p$ que satisfagan la ecuación \[ \sum^p_{i = 1} x^2_i - \frac {4}{4 \cdot p + 1} \left( \sum^p_{i = 1} x_i \right)^2 = 1\ \] O Demuestra que solo hay dos valores de $ p$ para los cuales hay enteros $ x_1, x_2, \ldots, x_p$ que satisfacen \[ \sum^p_{i = 1} x^2_i - \frac {4}{4 \cdot p + 1} \left( \sum^p_{i = 1} x_i \right)^2 = 1\ \]

Cuarenta y nueve estudiantes resuelven un conjunto de 3 problemas. La puntuación de cada problema es un número entero de puntos de 0 a 7. Demuestra que existen dos estudiantes $ A$ y $ B$ tales que, para cada problema, $ A$ obtendrá al menos tantos puntos como $ B.$

Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo. Las líneas $ L_{A}$ , $ L_{B}$ y $ L_{C}$ se construyen a través de los vértices $ A$ , $ B$ y $ C$ respectivamente según la siguiente prescripción: Sea $ H$ el pie de la altura trazada desde el vértice $ A$ al lado $ BC$ ; sea $ S_{A}$ el círculo con diámetro $ AH$ ; sea $ S_{A}$ que se encuentra con los lados $ AB$ y $ AC$ en $ M$ y $ N$ respectivamente, donde $ M$ y $ N$ son distintos de $ A$ ; entonces sea $ L_{A}$ la línea que pasa por $ A$ perpendicular a $ MN$ . Las líneas $ L_{B}$ y $ L_{C}$ se construyen de manera similar. Demuestre que las líneas $ L_{A}$ , $ L_{B}$ y $ L_{C}$ son concurrentes.

¿Para qué valores de $ n$ existe una matriz de $ n \times n$ de entradas -1, 0 o 1 tal que las $ 2 \cdot n$ sumas obtenidas al sumar los elementos de las filas y las columnas son todas diferentes?

En un triángulo rectángulo $ ABC$ sea $ AD$ la altura trazada a la hipotenusa y sea la línea recta que une los incentros de los triángulos $ ABD, ACD$ interseca los lados $ AB, AC$ en los puntos $ K,L$ respectivamente. Si $ E$ y $ E_1$ denotan las áreas de los triángulos $ ABC$ y $ AKL$ respectivamente, demuestre que \[ \frac {E}{E_1} \geq 2. \]

Sea $ N = \{1,2 \ldots, n\}, n \geq 2.$ Una colección $ F = \{A_1, \ldots, A_t\}$ de subconjuntos $ A_i \subseteq N,$ $ i = 1, \ldots, t,$ se dice que es separadora, si para cada par $ \{x,y\} \subseteq N,$ existe un conjunto $ A_i \in F$ tal que $ A_i \cap \{x,y\}$ contiene exactamente un elemento. $ F$ se dice que es cubriente, si cada elemento de $ N$ está contenido en al menos un conjunto $ A_i \in F.$ ¿Cuál es el valor más pequeño $ f(n)$ de $ t,$ para que exista un conjunto $ F = \{A_1, \ldots, A_t\}$ que sea simultáneamente separador y cubriente?

En un triángulo $ ABC,$ elija cualquier punto $ K \in BC, L \in AC, M \in AB, N \in LM, R \in MK$ y $ F \in KL.$ Si $ E_1, E_2, E_3, E_4, E_5, E_6$ y $ E$ denotan las áreas de los triángulos $ AMR, CKR, BKF, ALF, BNM, CLN$ y $ ABC$ respectivamente, demuestre que \[ E \geq 8 \cdot \sqrt [6]{E_1 E_2 E_3 E_4 E_5 E_6}. \]

La cerradura de una caja fuerte consta de 3 ruedas, cada una de las cuales se puede colocar de 8 maneras diferentes. Debido a un defecto en el mecanismo de la caja fuerte, la puerta se abrirá si dos de las tres ruedas están en la posición correcta. ¿Cuál es el número más pequeño de combinaciones que se deben probar para garantizar que se pueda abrir la caja fuerte (asumiendo que la 'combinación correcta' no se conoce)?

Sea $ a$ la mayor raíz positiva de la ecuación $ x^3 - 3 \cdot x^2 + 1 = 0.$ Muestra que $ \left[a^{1788} \right]$ y $ \left[a^{1988} \right]$ son divisibles por 17. Aquí $ [x]$ denota la parte entera de $ x.$

Sean $ a$ y $ b$ dos enteros positivos tales que $ a \cdot b + 1$ divide a $ a^{2} + b^{2}$ . Muestra que $ \frac {a^{2} + b^{2}}{a \cdot b + 1}$ es un cuadrado perfecto.