Determine todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen divisores positivos $a$ , $b$ , $c$ de $n$ tales que $a>b>c$ y $a^2 - b^2$ , $b^2 - c^2$ , $a^2 - c^2$ también son divisores de $n$ .

Alrededor de una mesa circular, un número par de personas tienen una discusión. Después de un descanso, se sientan nuevamente alrededor de la mesa circular en un orden diferente. Demuestre que hay al menos dos personas tales que el número de participantes sentados entre ellos antes y después del descanso es el mismo.

Un punto $M$ es escogido en el lado $AC$ del triángulo $ABC$ de tal manera que los radios de los círculos inscritos en los triángulos $ABM$ y $BMC$ son iguales. Pruebe que \[ BM^{2} = X \cot \left( \frac {B}{2}\right) \] donde X es el área del triángulo $ABC.$

Un número de luces de señal están espaciadas equitativamente a lo largo de una vía de ferrocarril de un solo sentido, etiquetadas en orden $ 1,2, \ldots, N, N \geq 2.$ Como regla de seguridad, no se permite que un tren pase una señal si cualquier otro tren está en movimiento en la longitud de la vía entre éste y la siguiente señal. Sin embargo, no hay límite en el número de trenes que pueden estar estacionados inmóviles en una señal, uno detrás del otro. (Asuma que los trenes tienen longitud cero). Una serie de $ K$ trenes de carga deben ser conducidos desde la Señal 1 a la Señal $ N.$ Cada tren viaja a una velocidad distinta pero constante en todo momento cuando no está bloqueado por la regla de seguridad. Demuestre que, independientemente del orden en que se dispongan los trenes, transcurrirá el mismo tiempo entre la salida del primer tren de la Señal 1 y la llegada del último tren a la Señal $ N.$

La sucesión $ \{a_n\}$ de enteros está definida por \[ a_1 = 2, a_2 = 7 \] y \[ - \frac {1}{2} < a_{n + 1} - \frac {a^2_n}{a_{n - 1}} \leq \frac {}{}, n \geq 2. \] Pruebe que $ a_n$ es impar para todo $ n > 1.$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $L$ cualquier línea en el plano del triángulo $ABC$. Denote por $u$, $v$, $w$ las longitudes de las perpendiculares a $L$ desde $A$, $B$, $C$ respectivamente. Pruebe la desigualdad $u^2\cdot\tan A + v^2\cdot\tan B + w^2\cdot\tan C\geq 2\cdot S$, donde $S$ es el área del triángulo $ABC$. Determine las líneas $L$ para las cuales la igualdad se cumple.

Una función $f$ definida en los enteros positivos (y que toma valores enteros positivos) está dada por: $ \begin{matrix} f(1) = 1, f(3) = 3 \\ f(2 \cdot n) = f(n) \\ f(4 \cdot n + 1) = 2 \cdot f(2 \cdot n + 1) - f(n) \\ f(4 \cdot n + 3) = 3 \cdot f(2 \cdot n + 1) - 2 \cdot f(n), \end{matrix}$ para todos los enteros positivos $n.$ Determine con prueba la cantidad de enteros positivos $ \leq 1988$ para los cuales $f(n) = n.$

Un entero positivo se llama número doble si su representación decimal consiste en un bloque de dígitos, que no comienza con 0, seguido inmediatamente por un bloque idéntico. Entonces, por ejemplo, 360360 es un número doble, pero 36036 no lo es. Demuestra que hay infinitos números dobles que son cuadrados perfectos.

Sea $ \{a_k\}^{\infty}_1$ una secuencia de números reales no negativos tal que: \[ a_k - 2 a_{k + 1} + a_{k + 2} \geq 0\ \] y $ \sum^k_{j = 1} a_j \leq 1$ para todo $ k = 1,2, \ldots$ . Demuestra que: \[ 0 \leq a_{k} - a_{k + 1} < \frac {2}{k^2}\ \] para todo $ k = 1,2, \ldots$ .

Sea $ Q$ el centro de la circunferencia inscrita de un triángulo $ ABC.$ Demuestra que para cualquier punto $ P,$ \[ a(PA)^2 + b(PB)^2 + c(PC)^2 = a(QA)^2 + b(QB)^2 + c(QC)^2 + (a + b + c)(QP)^2,\ \] donde $ a = BC, b = CA$ y $ c = AB.$