Sea $n$ un entero positivo, los jugadores A y B juegan el siguiente juego: tenemos $n$ bolas con los números de $1, 2, 3, 4,...., n$ estas bolas estarán en dos cajas con los símbolos $\prod$ y $\sum$. En su turno, el jugador puede elegir una bola y el jugador colocará esta bola en alguna caja, al final todas las bolas de la caja $\prod$ se multiplican y obtendremos un número $P$, después de esto todas las bolas de la caja $\sum$ se suman y obtendremos un número $Q$ (si la caja $\prod$ está vacía $P = 1$, si la caja $\sum$ está vacía $Q = 0$). Los jugadores juegan alternativamente, el jugador A comienza, si $P + Q$ es par, el jugador A gana, de lo contrario, el jugador B gana. a) Si $n= 6$, ¿¿¿qué jugador tiene la estrategia ganadora??? b) Si $n = 2012$, ¿¿¿qué jugador tiene la estrategia ganadora???

Maria tiene un tablero de tamaño $n \times n$, inicialmente con todas las casas pintadas de blanco. Maria decide pintar de negro algunas casas en el tablero, formando un mosaico, como se muestra en la figura a continuación, de la siguiente manera: ella pinta de negro todas las casas del borde del tablero, y luego deja blancas las casas que aún no han sido pintadas. Luego pinta las casas en el borde del siguiente tablero restante nuevamente de negro, y así sucesivamente. a) Determine un valor de $n$ para que el número de casas negras sea igual a $200$. b) Determine el valor más pequeño de $n$ para que el número de casas negras sea mayor que $2012$.

Arnaldo y Bernaldo entrenan para una maratón a lo largo de una pista circular, que tiene en su centro un mástil con una bandera izada. Arnaldo corre más rápido que Bernaldo, de modo que cada $30$ minutos de carrera, mientras Arnaldo da $15$ vueltas a la pista, Bernaldo solo puede dar $10$ vueltas completas. Arnaldo y Bernaldo salieron en el mismo momento de la línea y corrieron con velocidades constantes, ambos en la misma dirección. Entre el minuto $1$ y el minuto $61$ de la carrera, ¿cuántas veces Arnaldo, Bernaldo y el mástil se volvieron colineales?

Cinco puntos $A$ , $B$ , $C$ , $D$ y $E$ se encuentran en un círculo $\tau$ en sentido horario en ese orden tales que $AB \parallel CE$ y $\angle ABC > 90^{\circ}$ . Sea $k$ un círculo tangente a $AD$ , $CE$ y $\tau$ tal que $k$ y $\tau$ se tocan en el arco $\widehat{DE}$ que no contiene a $A$ , $B$ y $C$ . Sea $F \neq A$ la intersección de $\tau$ y la línea tangente a $k$ que pasa por $A$ diferente de $AD$ . Demuestre que existe un círculo tangente a $BD$ , $BF$ , $CE$ y $\tau$ .

Determine todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $$ f(x^3) + f(y)^3 + f(z)^3 = 3xyz $$ para todos los números reales $x$ , $y$ y $z$ con $x+y+z=0$ .

Decimos que un entero positivo $n$ es encantador si existe un entero positivo $k$ y enteros positivos (no necesariamente distintos) $d_1$ , $d_2$ , $\ldots$ , $d_k$ tales que $n = d_1d_2\cdots d_k$ y $d_i^2 \mid n + d_i$ para $i=1,2,\ldots,k$ . a) ¿Hay infinitos números encantadores? b) ¿Existe un número encantador, mayor que $1$ , que sea un cuadrado perfecto de un entero?

Sea $n\geq 3$ un entero positivo. Alice y Bob están jugando un juego en el que se turnan para colorear los vértices de un $n$ -ágono regular. Alice juega el primer movimiento. Inicialmente, ningún vértice está coloreado. Ambos jugadores comienzan el juego con $0$ puntos. En su turno, un jugador colorea un vértice $V$ que no ha sido coloreado y gana $k$ puntos donde $k$ es el número de vértices vecinos ya coloreados de $V$ . (Por lo tanto, $k$ es $0$ , $1$ o $2$ . ) El juego termina cuando todos los vértices han sido coloreados y el jugador con más puntos gana; si tienen el mismo número de puntos, nadie gana. Determine todos los $n\geq 3$ para los cuales Alice tiene una estrategia ganadora y todos los $n\geq 3$ para los cuales Bob tiene una estrategia ganadora.

Una colección $F$ de subconjuntos distintos (no necesariamente no vacíos) de $X = \{1,2,\ldots,300\}$ es encantadora si para cualesquiera tres conjuntos (no necesariamente distintos) $A$ , $B$ y $C$ en $F$ a lo sumo tres de los siguientes ocho conjuntos son no vacíos \n\begin{align*}A \cap B \cap C, \ \ \ \overline{A} \cap B \cap C, \ \ \ A \cap \overline{B} \cap C, \ \ \ A \cap B \cap \overline{C}, \\ \overline{A} \cap \overline{B} \cap C, \ \ \ \overline{A} \cap B \cap \overline {C}, \ \ \ A \cap \overline{B} \cap \overline{C}, \ \ \ \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}\n\end{align*} donde $\overline{S}$ denota el conjunto de todos los elementos de $X$ que no están en $S$ . ¿Cuál es el mayor número posible de conjuntos en una colección encantadora?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC > BC$ , con incírculo $\tau$ centrado en $I$ que toca a $BC$ y $AC$ en los puntos $D$ y $E$ , respectivamente. El punto $M$ en $\tau$ es tal que $BM \parallel DE$ y $M$ y $B$ se encuentran en el mismo semiplano con respecto a la bisectriz del ángulo $\angle ACB$ . Sean $F$ y $H$ las intersecciones de $\tau$ con $BM$ y $CM$ distintas de $M$ , respectivamente. Sea $J$ un punto en la línea $AC$ tal que $JM \parallel EH$ . Sea $K$ la intersección de $JF$ y $\tau$ distinta de $F$ . Demuestre que $ME \parallel KH$ .

Encuentre todos los pares $(x,y)$ de números reales positivos tales que $xy$ es un entero y $x+y = \lfloor x^2 - y^2 \rfloor$ .