Los números naturales del $1$ al $50$ están escritos en la pizarra. ¿Al menos cuántos de ellos deben ser borrados para que la suma de dos cualesquiera de los números restantes no sea un número primo?

Sea $S_n$ la suma de los valores recíprocos de los dígitos distintos de cero de todos los enteros positivos hasta (e incluyendo) $n$. Por ejemplo, $S_{13} = \frac{1}{1}+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{5}+ \frac{1}{6}+ \frac{1}{7}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{9}+ \frac{1}{1}+ \frac{1}{1}+ \frac{1}{1}+ \frac{1}{1}+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{1}+ \frac{1}{3}$ . Encuentre el entero positivo más pequeño $k$ que haga que el número $k!\cdot S_{2016}$ sea un entero.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro ${H}$ y circuncentro ${O}$. Suponga que el circuncentro ${X}$ de ${BHC}$ se encuentra en la circunferencia circunscrita de ${ABC}$. Refleje $O$ a través de ${X}$ para obtener ${O'}$, y sean las rectas ${XH}$ y ${O'A}$ que se intersecan en ${K}$. Sean $L,M$ y $N$ los puntos medios de $\left[ XB \right]$,$\left[ XC \right]$ y $\left[ BC \right]$, respectivamente. Demuestre que los puntos $K,L,M$ y ${N}$ son concíclicos.

Sea ${ABC}$ un triángulo acutángulo cuyo lado más corto es ${BC}$. Considere un punto variable ${P}$ en el lado ${BC}$, y sean ${D}$ y ${E}$ puntos en ${AB}$ y ${AC}$, respectivamente, tales que ${BD=BP}$ y ${CP=CE}$. Demuestre que, cuando ${P}$ recorre ${BC}$, la circunferencia circunscrita del triángulo ${ADE}$ pasa por un punto fijo.

Un trapecio $ABCD$ ( $AB || CF$ , $AB > CD$ ) está circunscrito. El incírculo del triángulo $ABC$ toca las líneas $AB$ y $AC$ en los puntos $M$ y $N$ , respectivamente. Pruebe que el incentro del trapecio $ABCD$ se encuentra en la línea $MN$.

Sea ${ABC}$ un triángulo con $\angle BAC={{60}^{{}^\circ }}$ . Sean $D$ y $E$ los pies de las perpendiculares desde ${A}$ a las bisectrices del ángulo externo de $\angle ABC$ y $\angle ACB$ , respectivamente. Sea ${O}$ el circuncentro del triángulo ${ABC}$ . Pruebe que las circunferencias circunscritas de los triángulos ${ADE}$ y ${BOC}$ son tangentes entre sí.

Sea ${ABC}$ un triángulo acutángulo, sea ${O}$ su circuncentro, y sean ${D,E,F}$ puntos en los lados ${BC,CA,AB}$ , respectivamente. El círculo ${(c_1)}$ de radio ${FA}$ , centrado en ${F}$ , cruza el segmento ${OA}$ en ${A'}$ y la circunferencia circunscrita ${(c)}$ del triángulo ${ABC}$ nuevamente en ${K}$ . Similarmente, el círculo ${(c_2)}$ de radio $DB$ , centrado en $D$ , cruza el segmento $\left( OB \right)$ en ${B}'$ y el círculo ${(c)}$ nuevamente en ${L}$ . Finalmente, el círculo ${(c_3)}$ de radio $EC$ , centrado en $E$ , cruza el segmento $\left( OC \right)$ en ${C}'$ y el círculo ${(c)}$ nuevamente en ${M}$ . Pruebe que los cuadriláteros $BKF{A}',CLD{B}'$ y $AME{C}'$ son todos cíclicos, y sus circunferencias circunscritas comparten un punto común.

Un cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en un círculo de centro $O$. Se sabe que las diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares. En cada lado construimos semicírculos, externamente, como se muestra en la figura. a) Demuestre que los triángulos $AOB$ y $COD$ tienen áreas iguales. b) Si $AC=8$ cm y $BD= 6$ cm, determine el área de la región sombreada.

Los jugadores $A$ y $B$ juegan el siguiente juego: un jugador escribe, en un tablero, un entero positivo $n$, después de esto eliminan un número en el tablero y escriben un nuevo número donde puede ser: i) El último número $p$, donde el nuevo número será $p - 2^k$ donde $k$ es el número más grande tal que $p\ge 2^k$ ii) El último número $p$, donde el nuevo número será $\frac{p}{2}$ si $p$ es par. Los jugadores juegan alternativamente, un jugador gana si el nuevo número es igual a $0$ y el jugador $A$ comienza. a) ¿Qué jugador tiene la estrategia ganadora con $n = 40$? b) ¿Qué jugador tiene la estrategia ganadora con $n = 2012$?

Una hormiga decide caminar sobre el perímetro de un triángulo $ABC$. La hormiga puede comenzar en cualquier vértice. Siempre que la hormiga está en un vértice, elige uno de los vértices adyacentes y camina directamente (en línea recta) hacia el vértice elegido. a) ¿De cuántas maneras puede la hormiga caminar alrededor de cada vértice exactamente dos veces? b) ¿De cuántas maneras puede la hormiga caminar alrededor de cada vértice exactamente tres veces? Nota: Para cada ítem, considere que el vértice de inicio es visitado.