Si $x^3-3\sqrt3 x^2 +9x - 3\sqrt3 -64=0$ encuentra el valor de $x^6-8x^5+13x^4-5x^3+49x^2-137x+2015$.

Sean x, y, z números reales, que satisfacen las relaciones $x \ge 20$ $y \ge 40$ $z \ge 1675$ x + y + z = 2015. Encuentra el mayor valor del producto P = $xyz$

Determinar todos los números de cuatro dígitos $\overline{abcd} $ tales que $(a + b)(a + c)(a + d)(b + c)(b + d)(c + d) =\overline{abcd} $.

Encontrar todas las ternas de enteros $(a,b,c)$ tales que el número $$N = \frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{2} + 2$$ es una potencia de $2016$. (Una potencia de $2016$ es un entero de la forma $2016^n$ , donde n es un entero no negativo.)

Encontrar todos los enteros positivos $n$ tales que el número $A_n =\frac{ 2^{4n+2}+1}{65}$ es a) un entero, b) un primo.

Encontrar el número máximo de números naturales $x_1,x_2, ... , x_m$ que satisfacen las condiciones: a) Ningún $x_i - x_j , 1 \le i < j \le m$ es divisible por $11$ , y b) La suma $x_2x_3 ...x_m + x_1x_3 ... x_m + \cdot \cdot \cdot + x_1x_2... x_{m-1}$ es divisible por $11$.

Determinar el entero positivo más grande $n$ que divide a $p^6 - 1$ para todos los primos $p > 7$.

Sea ${AB}$ una cuerda de un círculo ${(c)}$ centrado en ${O}$, y sea ${K}$ un punto en el segmento ${AB}$ tal que ${AK<BK}$. Dos círculos que pasan por ${K}$, internamente tangentes a ${(c)}$ en ${A}$ y ${B}$, respectivamente, se encuentran nuevamente en ${L}$. Sea ${P}$ uno de los puntos de intersección de la recta ${KL}$ y el círculo ${(c)}$, y sean las rectas ${AB}$ y ${LO}$ que se encuentran en ${M}$. Demuestre que la recta ${MP}$ es tangente al círculo ${(c)}$.

Dado un triángulo agudo ${ABC}$, construya triángulos ${ABD}$ y ${ACE}$ externamente, de modo que ${\angle ADB= \angle AEC=90^o}$ y ${\angle BAD= \angle CAE}$. Sean ${{A}_{1}}\in BC,{{B}_{1}}\in AC$ y ${{C}_{1}}\in AB$ los pies de las alturas del triángulo ${ABC}$, y sean $K$ y ${K,L}$ los puntos medios de $[ B{{C}_{1}} ]$ y ${BC_1, CB_1}$, respectivamente. Demuestre que los circuncentros de los triángulos $AKL,{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ y ${DEA_1}$ son colineales. (Bulgaria)

Una tabla de $5 \times 5$ se llama regular si cada una de sus celdas contiene uno de cuatro números reales distintos por parejas, de tal manera que cada uno de ellos aparece exactamente una vez en cada subtabla de $2 \times 2$. La suma de todos los números de una tabla regular se llama la suma total de la tabla. Con cuatro números cualesquiera, uno construye todas las tablas regulares posibles, calcula sus sumas totales y cuenta los resultados distintos. Determine el conteo máximo posible.