Determina todos los números reales a para los cuales existen reales positivos $x_{1}, \ldots, x_{5}$ que satisfacen las relaciones $ \sum_{k=1}^{5} kx_{k}=a,$ $ \sum_{k=1}^{5} k^{3}x_{k}=a^{2},$ $ \sum_{k=1}^{5} k^{5}x_{k}=a^{3}.$

Consideramos un punto $P$ en un plano $p$ y un punto $Q \not\in p$. Determina todos los puntos $R$ de $p$ para los cuales \[ \frac{QP+PR}{QR} \] es máximo.

Dos círculos en un plano se intersectan. $A$ es uno de los puntos de intersección. Comenzando simultáneamente desde $A$, dos puntos se mueven con velocidad constante, cada uno viajando a lo largo de su propio círculo en el mismo sentido. Los dos puntos regresan a $A$ simultáneamente después de una revolución. Demuestra que existe un punto fijo $P$ en el plano tal que los dos puntos están siempre equidistantes de $P$.

Consideramos un prisma que tiene como base superior e inferior los pentágonos: $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$ y $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}B_{5}$. Cada uno de los lados de los dos pentágonos y los segmentos $A_{i}B_{j}$ con $i,j=1,\ldots, 5$ está coloreado de rojo o azul. En cada triángulo que tiene todos sus lados coloreados existe un lado rojo y un lado azul. Demuestra que los 10 lados de las dos bases están coloreados del mismo color.

Si $p$ y $q$ son números naturales tales que \[ \frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ \ldots -\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}, \] demuestra que $p$ es divisible por $1979$.

Hay $1979$ triángulos equiláteros: $T_1,T_2, . . . ,T_{1979}$ . Un lado del triángulo $T_k$ es igual a $\frac{1}{k}$ , $k = 1,2, . . . ,1979$ . ¿En qué valores de un número $a$ se pueden colocar todos estos triángulos en el triángulo equilátero con longitud de lado $a$ para que no se intersecten (se permiten puntos de contacto)?

Sea $N$ el número de soluciones integrales de la ecuación \[x^2 - y^2 = z^3 - t^3\] que satisfacen la condición $0 \leq x, y, z, t \leq 10^6$ , y sea $M$ el número de soluciones integrales de la ecuación \[x^2 - y^2 = z^3 - t^3 + 1\] que satisfacen la condición $0 \leq x, y, z, t \leq 10^6$ . Demuestre que $N >M.$

Consideremos un punto $P$ en un plano $p$ y un punto $Q \not\in p$ . Determine todos los puntos $R$ de $p$ para los cuales \[ \frac{QP+PR}{QR} \] es máximo.

Un círculo $C$ con centro $O$ en la base $BC$ de un triángulo isósceles $ABC$ es tangente a los lados iguales $AB,AC$ . Si el punto $P$ en $AB$ y el punto $Q$ en $AC$ se seleccionan de tal manera que $PB \times CQ = (\frac{BC}{2})^2$ , demuestre que el segmento de línea $PQ$ es tangente al círculo $C$ , y demuestre lo contrario.

Hallar todos los números naturales $n$ para los cuales $2^8 +2^{11} +2^n$ es un cuadrado perfecto.