Sean $ a$ y $ b$ dos enteros positivos tales que $ a \cdot b + 1$ divide a $ a^{2} + b^{2}$ . Muestra que $ \frac {a^{2} + b^{2}}{a \cdot b + 1}$ es un cuadrado perfecto.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sean $A_1,B_1,C_1$ puntos interiores de $ABC$ tales que $BA_1=A_1C$ , $CB_1=B_1A$ , $AC_1=C_1B$ , y $$\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ$$ Sean $BC_1$ y $CB_1$ se intersecan en $A_2,$ sean $CA_1$ y $AC_1$ se intersecan en $B_2,$ y sean $AB_1$ y $BA_1$ se intersecan en $C_2.$ Pruebe que si el triángulo $A_1B_1C_1$ es escaleno, entonces las tres circunferencias circunscritas de los triángulos $AA_1A_2, BB_1B_2$ y $CC_1C_2$ pasan por dos puntos comunes. (Nota: un triángulo escaleno es aquel en el que no hay dos lados que tengan la misma longitud.)

Sea $n$ un entero positivo. Un triángulo japonés consiste en $1 + 2 + \dots + n$ círculos dispuestos en una forma triangular equilátera tal que para cada $i = 1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ , la fila $i^{th}$ contiene exactamente $i$ círculos, exactamente uno de los cuales está coloreado de rojo. Un camino ninja en un triángulo japonés es una secuencia de $n$ círculos obtenida comenzando en la fila superior, luego pasando repetidamente de un círculo a uno de los dos círculos inmediatamente debajo de él y terminando en la fila inferior. En términos de $n$ , encuentre el mayor $k$ tal que en cada triángulo japonés hay un camino ninja que contiene al menos $k$ círculos rojos.

Sean $x_1,x_2,\dots,x_{2023}$ números reales positivos diferentes por pares tales que \[a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\dots+x_n)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots+\frac{1}{x_n}\right)}\] es un entero para todo $n=1,2,\dots,2023.$ Demuestre que $a_{2023} \geqslant 3034.$

Para cada entero $k\geq 2$ , determinar todas las sucesiones infinitas de enteros positivos $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ para las cuales existe un polinomio $P$ de la forma \[ P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\dots + c_1 x+c_0, \] donde $c_0$ , $c_1$ , \dots, $c_{k-1}$ son enteros no negativos, tales que \[ P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k} \] para todo entero $n\geq 1$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$ . Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita de $ABC$ . Sea $S$ el punto medio del arco $CB$ de $\Omega$ que contiene a $A$ . La perpendicular desde $A$ a $BC$ se encuentra con $BS$ en $D$ y se encuentra con $\Omega$ de nuevo en $E \neq A$ . La recta que pasa por $D$ paralela a $BC$ se encuentra con la recta $BE$ en $L$ . Denotemos la circunferencia circunscrita del triángulo $BDL$ por $\omega$ . Sea $\omega$ se encuentra con $\Omega$ de nuevo en $P \neq B$ . Demostrar que la recta tangente a $\omega$ en $P$ se encuentra con la recta $BS$ en la bisectriz del ángulo interno de $\angle BAC$ .

Determinar todos los enteros compuestos $n>1$ que satisfacen la siguiente propiedad: si $d_1$ , $d_2$ , $\ldots$ , $d_k$ son todos los divisores positivos de $n$ con $1 = d_1 < d_2 < \cdots < d_k = n$ , entonces $d_i$ divide a $d_{i+1} + d_{i+2}$ para todo $1 \leq i \leq k - 2$ .

Determina todos los pares $(a, b)$ de números reales positivos con $a \neq 1$ tales que \[\log_a b < \log_{a+1} (b + 1).\]

La tabla armónica es un arreglo triangular: $1$ $\frac 12 \qquad \frac 12$ $\frac 13 \qquad \frac 16 \qquad \frac 13$ $\frac 14 \qquad \frac 1{12} \qquad \frac 1{12} \qquad \frac 14$ Donde $a_{n,1} = \frac 1n$ y $a_{n,k+1} = a_{n-1,k} - a_{n,k}$ para $1 \leq k \leq n-1.$ Encuentra la media armónica de la fila $1985^{th}$.

Dentro del triángulo $ABC$ hay tres círculos $k_1, k_2, k_3$ cada uno de los cuales es tangente a dos lados del triángulo y a su incírculo $k$ . Los radios de $k_1, k_2, k_3$ son $1, 4$ , y $9$ . Determina el radio de $k.$