En una permutación $(x_1, x_2, \dots , x_n)$ del conjunto $1, 2, \dots , n$ llamamos a un par $(x_i, x_j )$ discordante si $i < j$ y $x_i > x_j$ . Sea $d(n, k)$ el número de tales permutaciones con exactamente $k$ pares discordantes. Encuentra $d(n, 2)$ y $d(n, 3).$

Sean $a,b,c,d$ enteros impares tales que $0<a<b<c<d$ y $ad=bc$ . Demuestra que si $a+d=2^k$ y $b+c=2^m$ para algunos enteros $k$ y $m$ , entonces $a=1$ .

Los ángulos de un triángulo dado $ABC$ son todos menores que $120^\circ$ . Triángulos equiláteros $AFB, BDC$ y $CEA$ son construidos en el exterior de $ABC$ . (a) Prueba que las líneas $AD, BE$ , y $CF$ pasan por un punto $S.$ (b) Prueba que $SD + SE + SF = 2(SA + SB + SC).$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con la línea $CD$ siendo tangente al círculo de diámetro $AB$ . Prueba que la línea $AB$ es tangente al círculo de diámetro $CD$ si y solo si las líneas $BC$ y $AD$ son paralelas.

Prueba que el volumen de un tetraedro inscrito en un cilindro circular recto de volumen $1$ no excede $\frac{2}{3 \pi}.$

Encuentra un par de enteros positivos $a,b$ tal que $ab(a+b)$ no sea divisible por $7$ , pero $(a+b)^7-a^7-b^7$ sea divisible por $7^7$ .

Sea $n$ un entero positivo y $a_1, a_2, \dots , a_{2n}$ enteros mutuamente distintos. Encuentra todos los enteros $x$ que satisfacen \[(x - a_1) \cdot (x - a_2) \cdots (x - a_{2n}) = (-1)^n(n!)^2.\]

Demuestre que el producto de cinco enteros positivos consecutivos no puede ser el cuadrado de un entero.

Sean $a, b, c$ números positivos con $\sqrt a +\sqrt b +\sqrt c = \frac{\sqrt 3}{2}$ . Demuestre que el sistema de ecuaciones \n\[\sqrt{y-a}+\sqrt{z-a}=1,\] \n\[\sqrt{z-b}+\sqrt{x-b}=1,\] \n\[\sqrt{x-c}+\sqrt{y-c}=1\]\ntiene exactamente una solución $(x, y, z)$ en números reales.

Dados los puntos $O$ y $A$ en el plano. Cada punto en el plano está coloreado con uno de un número finito de colores. Dado un punto $X$ en el plano, el círculo $C(X)$ tiene centro $O$ y radio $OX+{\angle AOX\over OX}$ , donde $\angle AOX$ se mide en radianes en el rango $[0,2\pi)$ . Demuestre que podemos encontrar un punto $X$ , no en $OA$ , tal que su color aparece en la circunferencia del círculo $C(X)$ .