(a) Decida si los campos del tablero de ajedrez de $8 \times 8$ pueden numerarse con los números $1, 2, \dots , 64$ de tal manera que la suma de los cuatro números en cada una de sus partes de una de las formas sea divisible por cuatro. (b) Resuelva el problema análogo para.

Sea $c$ un entero positivo. La secuencia $\{f_n\}$ se define como sigue: \n\[f_1 = 1, f_2 = c, f_{n+1} = 2f_n - f_{n-1} + 2 \quad (n \geq 2).\]\nDemuestre que para cada $k \in \mathbb N$ existe $r \in \mathbb N$ tal que $f_kf_{k+1}= f_r.$

Demostrar que $0\le yz+zx+xy-2xyz\le{7\over27}$ , donde $x,y$ y $z$ son números reales no negativos que satisfacen $x+y+z=1$ .

Sea $ d$ la suma de las longitudes de todas las diagonales de un polígono convexo plano con $ n$ vértices (donde $ n>3$ ) . Sea $ p$ su perímetro. Demostrar que: \\[ n-3<{2d\over p}<\Bigl[{n\over2}\Bigr]\cdot\Bigl[{n+1\over 2}\Bigr]-2,\\] donde $ [x]$ denota el mayor entero que no excede a $ x$ .

Encontrar todos los enteros positivos $n$ tales que \\[n=d_6^2+d_7^2-1,\\] donde $1 = d_1 < d_2 < \cdots < d_k = n$ son todos los divisores positivos del número $n.$

Demostrar: (a) Existen infinitas ternas de enteros positivos $m, n, p$ tales que $4mn - m- n = p^2 - 1.$ (b) No existen enteros positivos $m, n, p$ tales que $4mn - m- n = p^2.$

Encontrar todas las soluciones del siguiente sistema de $n$ ecuaciones en $n$ variables: \[\begin{array}{c}\ x_1|x_1| - (x_1 - a)|x_1 - a| = x_2|x_2|,x_2|x_2| - (x_2 - a)|x_2 - a| = x_3|x_3|,\ \vdots \ x_n|x_n| - (x_n - a)|x_n - a| = x_1|x_1|\end{array}\] donde $a$ es un número dado.

Dada la pirámide $ABCD$ . Sea $O$ el punto medio de la arista $AC$ . Dado que $DO$ es la altura de la pirámide, $AB=BC=2DO$ y el ángulo $ABC$ es recto. Corte esta pirámide en $8$ pirámides iguales y similares a ella.

Se consideran todas las posibles secuencias de números $-1$ y $+1$ de longitud $100$. Para cada una de ellas, se calcula el cuadrado de la suma de los términos. Encuentre el promedio aritmético de los valores resultantes.

Demuestre que la secuencia de los primeros dígitos de los números de la forma $2^n+3^n$ no es periódica.