Un triángulo rectángulo está inscrito en la parábola $y=x^2$ . Demuestre que su hipotenusa no es menor que $2$ .

Dado el tetraedro $ABCD$ , cuyas aristas opuestas son iguales, es decir, $AB=CD, AC=BD$ y $BC=AD$ . Demuestre que existen exactamente $6$ planos que intersectan los ángulos triangulares del tetraedro y dividen la superficie total y el volumen de este tetraedro por la mitad.

El segmento de longitud $\ell$ con los extremos en la frontera de un triángulo divide el área de ese triángulo por la mitad. Demuestre que $\ell >r\sqrt2$ , donde $r$ es el radio del círculo inscrito del triángulo.

Resuelva la ecuación $(x^3-1000)^{1/2}=(x^2+100)^{1/3}$.

Escriba el número $\frac{1997}{1998}$ como una suma de diferentes números, inversos a los naturales.

El juego Battleship se juega en una cuadrícula de $10\times10$. Una flota consta de 10 barcos: uno que ocupa $4$ celdas, dos que ocupan $3$ celdas cada uno, tres que ocupan $2$ celdas cada uno y cuatro que ocupan $1$ celda cada uno (ver figura). Los barcos se pueden colocar horizontal o verticalmente, pero no deben tocarse entre sí, ni siquiera en un vértice. ¿Es posible colocar dos flotas en el mismo tablero de acuerdo con estas reglas?

Un náufrago está construyendo una balsa rectangular $ABCD$ . Fija un mástil perpendicular a la balsa, con cuerdas que pasan desde la parte superior del mástil (punto $S$ en la figura) hasta las cuatro esquinas de la balsa. La cuerda $SA$ mide $8$ metros, la cuerda $SB$ mide $2$ metros y la cuerda $SC$ mide $14$ metros. Calcula la longitud de la cuerda $SD$ .

Beto tiene un tablero de ajedrez rectangular donde el número de filas y columnas son números consecutivos (por ejemplo, $30$ y $31$). Ana tiene baldosas de dos colores y diferentes tamaños: las baldosas rojas son rectángulos de $5 \times 7$ y las baldosas azules son rectángulos de $3 \times 5$ . Ana se dio cuenta de que puede cubrir todos los cuadrados del tablero de Beto usando solo baldosas rojas, que pueden rotarse, pero no deben superponerse ni extenderse más allá del tablero. Luego, se dio cuenta de que también puede hacer lo mismo usando solo baldosas azules. ¿Cuál es el número mínimo de cuadrados que puede tener el tablero de Beto?

Un número es especial si su dígito de las decenas es $9$ . Por ejemplo, $499$ y $1092$ son especiales, pero $509$ no lo es. Diego tiene varias tarjetas. En cada una de ellas, escribió un número especial (puede escribir el mismo número en más de una tarjeta). Cuando suma los números de las tarjetas, el total es $2024$ . ¿Cuál es el número más pequeño de tarjetas que puede tener Diego?

Determina todos los números de dos dígitos que satisfacen la siguiente condición: si multiplicamos sus dos dígitos, el resultado es igual a la mitad del número. Por ejemplo, $24$ no satisface la condición, porque $2 \times 4 = 8$ y $8$ no es la mitad de $24$ .