Un calamar se mueve en un tablero de la siguiente manera: avanza tres casillas en una dirección y luego dos casillas en una dirección perpendicular. Por ejemplo, en la figura de abajo, al hacer un movimiento, el calamar puede moverse a cualquiera de las $8$ casillas indicadas con flechas. Inicialmente, hay un calamar en cada una de las $35$ casillas de un tablero de $5 \times 7$ . Al mismo tiempo, cada calamar realiza exactamente un movimiento. ¿Cuál es el menor número posible de casillas vacías después de estos movimientos?

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sean $M$ , $N$ , $P$ y $Q$ los puntos medios de los lados $AB$ , $CD$ , $BC$ y $DA$ respectivamente. La línea $MN$ intersecta los segmentos $AP$ y $CQ$ en los puntos $X$ e $Y$ , respectivamente. Suponga que $MX = NY$ . Demuestre que $\text{area}(ABCD) = 4 \cdot \text{area}(BXDY).$

Ana escribe una lista infinita de números usando el siguiente procedimiento. El primer número de la lista es un entero positivo $a$ elegido por Ana. A partir de ahí, cada número en la lista se obtiene calculando la suma de todos los enteros desde $1$ hasta el último número escrito. Por ejemplo, si $a = 3$ , la lista de Ana comienza como $3, 6, 21, 231, \dots$ porque $1 + 2 + 3 = 6$ , $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$ y $1 + 2 + 3 + \dots + 21 = 231$ . ¿Es posible que todos los números en la lista de Ana sean pares?

Decimos que un entero positivo $n$ es bueno si el resultado de multiplicar los primeros $n$ enteros impares positivos consiste solo de los dígitos $1$ , $3$ , $5$ y $9$ . Por ejemplo, $n = 3$ es bueno porque $1 \times 3 \times 5 = 15$ , pero $n = 4$ no es bueno porque $1 \times 3 \times 5 \times 7 = 105$ . Determina todos los números buenos.

Una cuadrícula de $4\times 8$ se divide en $32$ cuadrados unitarios. Hay baldosas cuadradas de tamaños $1 \times 1$ , $2 \times 2$ , $3 \times 3$ y $4 \times 4$ . El objetivo es cubrir completamente la cuadrícula usando exactamente $n$ de estas baldosas. ¿Es posible hacer esto si $n = 19$ ? ¿Es posible hacer esto si $n = 14$ ? ¿Es posible hacer esto si $n = 7$ ? Nota: Las baldosas no pueden superponerse ni extenderse más allá de la cuadrícula.

La secuencia infinita $a_1,a_2,a_3,\ldots$ de enteros positivos se define de la siguiente manera: $a_1=1$, y para cada $n \ge 2$, $a_n$ es el entero positivo más pequeño, distinto de $a_1,a_2, \ldots , a_{n-1}$ tal que: $$\sqrt{a_n+\sqrt{a_{n-1}+\ldots+\sqrt{a_2+\sqrt{a_1}}}} $$ es un entero. Demostrar que todos los enteros positivos aparecen en la secuencia $a_1,a_2,a_3,\ldots$

Sean $a$, $b$ y $c$ enteros positivos. Se definen tres secuencias de la siguiente manera: $a_1=a$, $b_1=b$, $c_1=c$ $a_{n+1}=\lfloor{\sqrt{a_nb_n}}\rfloor$, $\:b_{n+1}=\lfloor{\sqrt{b_nc_n}}\rfloor$, $\:c_{n+1}=\lfloor{\sqrt{c_na_n}}\rfloor$ para $n \ge 1$ Demostrar que para cualesquiera $a$, $b$, $c$, existe un entero positivo $N$ tal que $a_N=b_N=c_N$. Encontrar el menor $N$ tal que $a_N=b_N=c_N$ para alguna elección de $a$, $b$, $c$ tales que $a \ge 2$ e $y b+c=2a-1$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Se eligen los puntos $X$ e $Y$ tales que: $\angle XAB = \angle YCB = 90^\circ$ $\angle ABC = \angle BXA = \angle BYC$ $X$ y $C$ están en semiplanos diferentes con respecto a $AB$ $Y$ y $A$ están en semiplanos diferentes con respecto a $BC$ Demostrar que $O$ es el punto medio de $XY$.

Sea $n$ un entero positivo. ¿De cuántas maneras se puede embaldosar una cuadrícula de $4 \times 4n$ con el siguiente tetromino? [asy] size(4cm); draw((1,0)--(3,0)--(3,1)--(0,1)--(0,0)--(1,0)--(1,2)--(2,2)--(2,0)); [/asy]

Sea $A(XYZ)$ el área del triángulo $XYZ$. Un polígono convexo no regular $P_1 P_2 \ldots P_n$ se dice guayaco si existe un punto $O$ en su interior tal que $$A(P_1OP_2) = A(P_2OP_3) = \cdots = A(P_nOP_1).$$ Demuestra que, para cada entero $n \ge 3$, existe un polígono guayaco de $n$ lados.