Un entero positivo $n$ se dice guayaquileño si la suma de los dígitos de $n$ es igual a la suma de los dígitos de $n^2$. Encuentra todos los valores posibles que puede tomar la suma de los dígitos de un número guayaquileño.

Dentro del triángulo $ABC$ se da un punto $M$ . Encuentre los puntos $P,Q$ y $R$ que se encuentran en los lados $AB,BC$ y $AC$ respectivamente y de tal manera que la suma $MP+PQ+QR+RM$ sea la más pequeña.

Encuentre una función continua $f(x)$ que satisfaga la identidad $f(x)-f(ax)=x^n-x^m$ , donde $n,m\in N , 0<a<1$

Dado un círculo de radio $r= 1995$ . Demuestre que a su alrededor puede describir exactamente $16$ triángulos pitagóricos primitivos. El triángulo pitagórico primitivo es un triángulo rectángulo, las longitudes de cuyos lados se expresan mediante números enteros coprimos.

Un conjunto que consta de $n$ puntos de un plano se denomina $n$ - punto isósceles si tres cualquiera de sus puntos están ubicados en los vértices de un triángulo isósceles. Encuentre todos los números naturales para los que existen $n$ - puntos isósceles.

Se sabe que los $n$ clientes del comerciante viven en lugares ubicados a lo largo de la carretera de circunvalación. De estos, $k$ clientes tienen deudas con el comerciante por $a_1,a_2,...,a_k$ rublos, y el comerciante debe a los $n-k$ clientes restantes, cuyas deudas son $b_1,b_2,...,b_{n-k}$ rublos, además, $a_1+a_2+...+a_k=b_1+b_2+...+b_{n-k}$ . Demuestre que un comerciante que no tiene dinero puede pagar todas sus deudas y haber pagado todas las deudas de los clientes, comenzando una caminata del cliente a lo largo de la carretera desde uno de los puntos y sin perderse a ninguno de sus clientes.

Demuestre que la ecuación $(\sqrt5 +1)^{2x}+ (\sqrt5 -1)^{2x}=2^x(y^2+2)$ tiene un número infinito de soluciones en números naturales.

Sea $x_1=a, x_2=a^{x_1}, ..., x_n=a^{x_{n-1}}$ donde $a>1$ . ¿Cuál es el valor máximo de $a$ para el cual existe $\lim_{n\to \infty} x_n$ y cuál es este límite?

Dé una prueba geométrica de la afirmación de que la línea de plegado en una hoja de papel es recta.

Sea $ABC$ un triángulo y sean $I$ y $O$ su incentro y circuncentro respectivamente. Sea $\omega_A$ el círculo que pasa por $B$ y $C$ que es tangente al incírculo del triángulo $ABC$ ; los círculos $\omega_B$ y $\omega_C$ se definen de manera similar. Los círculos $\omega_B$ y $\omega_C$ se intersecan en un punto $A'$ distinto de $A$ ; los puntos $B'$ y $C'$ se definen de manera similar. Demuestra que las líneas $AA',BB'$ y $CC'$ son concurrentes en un punto en la línea $IO$ .