Dado un entero positivo $n\ge 3$ , colorea cada celda de un arreglo cuadrado de $n\times n$ con uno de $\lfloor (n+2)^2/3\rfloor$ colores, usando cada color al menos una vez. Demuestra que hay algún subarreglo rectangular de $1\times 3$ o $3\times 1$ cuyas tres celdas están coloreadas con tres colores diferentes.

Demuestra que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $2^{2^n+1}+1$ es divisible por $n$ pero $2^n+1$ no lo es.

Cada entero positivo está coloreado de rojo o azul. Una función $f$ del conjunto de enteros positivos a sí mismo tiene las siguientes dos propiedades: (a) si $x\le y$ , entonces $f(x)\le f(y)$ ; y (b) si $x,y$ y $z$ son enteros positivos (no necesariamente distintos) del mismo color y $x+y=z$ , entonces $f(x)+f(y)=f(z)$ . Demuestra que existe un número positivo $a$ tal que $f(x)\le ax$ para todos los enteros positivos $x$ .

Dado un triángulo no isósceles $ABC$ , sean $D,E$ , y $F$ los puntos medios de los lados $BC,CA$ , y $AB$ respectivamente. El círculo $BCF$ y la línea $BE$ se intersecan de nuevo en $P$ , y el círculo $ABE$ y la línea $AD$ se intersecan de nuevo en $Q$ . Finalmente, las líneas $DP$ y $FQ$ se intersecan en $R$ . Demuestra que el centroide $G$ del triángulo $ABC$ se encuentra en el círculo $PQR$ .

Dado un número finito de niños y niñas, un conjunto sociable de niños es un conjunto de niños tal que cada niña conoce al menos a un niño en ese conjunto; y un conjunto sociable de niñas es un conjunto de niñas tal que cada niño conoce al menos a una niña en ese conjunto. Demuestra que el número de conjuntos sociables de niños y el número de conjuntos sociables de niñas tienen la misma paridad. (Se asume que el conocimiento es mutuo.)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Sea $n \geq 2$ un número entero. Probar que hay $n$ triángulos con la misma área que cumplen todas las siguientes propiedades: a) Sus interiores son disjuntos, es decir, los triángulos no se superponen. b) Cada triángulo está ya sea en $ABCD$ o dentro de él. c) La suma de las áreas de todos estos triángulos es al menos $\frac{4n}{4n+1}$ el área de $ABCD$ .

Sea $d(k)$ la cantidad de divisores positivos del entero $k$ . Un número $n$ es llamado balanceado si $d(n-1) \leq d(n) \leq d(n+1)$ o $d(n-1) \geq d(n) \geq d(n+1)$ . Demostrar que hay infinitos números balanceados.

Sea $M$ el conjunto de todos los enteros desde $1$ hasta $2013$ . A cada subconjunto de $M$ se le da uno de $k$ colores disponibles, con la única condición de que si la unión de dos subconjuntos diferentes $A$ y $B$ es $M$ , entonces a $A$ y $B$ se les dan colores diferentes. ¿Cuál es el menor valor posible de $k$ ?

Nocycleland es un país con $500$ ciudades y $2013$ caminos de dos vías, cada uno de ellos conectando dos ciudades. Una ciudad $A$ es vecina de $B$ si hay un camino que los conecta, y una ciudad $A$ es cuasi-vecina de $B$ si hay una ciudad $C$ tal que $A$ es vecina de $C$ y $C$ es vecina de $B$ . Se sabe que en Nocycleland, no hay par de ciudades conectadas directamente con más de un camino, y no hay cuatro ciudades $A$ , $B$ , $C$ y $D$ tales que $A$ es vecina de $B$ , $B$ es vecina de $C$ , $C$ es vecina de $D$ , y $D$ es vecina de $A$ . Demostrar que hay al menos una ciudad que es cuasi-vecina de al menos $57$ otras ciudades.

En un triángulo $ABC$ , sea $M$ el punto medio de $BC$ e $I$ el incentro de $ABC$ . Si $IM$ = $IA$ , hallar la menor medida posible de $\angle{AIM}$ .