2019 Pan African Mathematics Olympiad P5
La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. DylanN 212 publicaciones DylanN #1 h 9 de abril de 2019, 2:01 AM • 3 Y Y por Siddharth03, Adventure10, Mango247 Un cuadrado está dividido en $N^2$ cuadrados pequeños iguales que no se solapan, donde $N \geq 3$. Se nos da una línea quebrada que pasa por los centros de todos los cuadrados pequeños (dicha línea quebrada puede intersecarse a sí misma). Demuestre que es posible encontrar una línea quebrada compuesta por $4$ segmentos para $N = 3$. Encuentre el número mínimo de segmentos en esta línea quebrada para un $N$ arbitrario. Z K Y
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La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. anantmudgal09 2002 publicaciones anantmudgal09 #1 h 2 de agosto de 2025, 1:16 a. m. Y por Para un multiconjunto $A$, defina $$f(A, i, m) = \sum_{a \in A, \, 3 \mid a-i} a^m$$ y sea $g(A, m)$ el conjunto $\{f(A, 0, m), f(A, 1, m), f(A, 2, m)\}$. Suponga que para algún multiconjunto $S$ tenemos que $$\left|g(S, 0)\right|=\left|g(S, 1)\right|=1, \left|g(S, 2)\right|=3.$$ Demuestre que existe algún entero $k \ne 0$ divisible por $6$ tal que si definimos el multiconjunto $T := \{x_1+x_2+\dots+x_k \, | \, (x_1, x_2, \dots, x_k) \in S^k\}$, entonces $$f(T, 0, 2k) \leqslant \frac{f(T, 1, 2k)+f(T, 2, 2k)}{2}.$$ Propuesto por Pranjal Srivastava Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por anantmudgal09, 2 de agosto de 2025, 11:44 p. m. Z K Y
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France Team Selection Test P2
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Sayan 2130 publicaciones Sayan #1 h 13 de junio de 2014, 8:56 PM • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, Mamadi Dos círculos $O_1$ y $O_2$ se intersecan en $M$ y $N$. La tangente común a los dos círculos más cercana a $M$ toca a $O_1$ y $O_2$ en $A$ y $B$ respectivamente. Sean $C$ y $D$ las reflexiones de $A$ y $B$ respectivamente con respecto a $M$. El circuncírculo del triángulo $DCM$ interseca a los círculos $O_1$ y $O_2$ respectivamente en los puntos $E$ y $F$ (ambos distintos de $M$). Demuestre que los circuncírculos de los triángulos $MEF$ y $NEF$ tienen la misma longitud de radio. Z K Y
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2024 Iran Team Selection Test 2024 P4
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Shayan-TayefehIR 109 publicaciones Shayan-TayefehIR #1 h 19 de mayo de 2024, 9:32 a. m. • 2 Y Y por Rounak_iitr, mxsail Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para cualesquiera números reales $x , y$ se cumple la siguiente igualdad: $$f(yf(x)+f(x)f(y))=xf(y)+f(xy)$$ Propuesto por Navid Safaei Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Shayan-TayefehIR, 27 de mayo de 2024, 7:51 p. m. Z K Y
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France Team Selection Test P3
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. lyukhson 127 publicaciones lyukhson #1 h 10 de julio de 2014, 1:12 a. m. • 14 Y Y por mathuz, Davi-8191, tenplusten, myh2910, jhu08, TFIRSTMGMEDALIST, Infinityfun, Adventure10, Mango247, NicoN9 y otros 4 usuarios Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que el mayor divisor primo de $n^4 + n^2 + 1$ es igual al mayor divisor primo de $(n+1)^4 + (n+1)^2 +1$. Z K Y
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2024 Iran Team Selection Test 2024 P8
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Shayan-TayefehIR 109 publicaciones Shayan-TayefehIR #1 h 19 de mayo de 2024, 9:41 a. m. • 1 Y Y por mxsail Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{Q}[x] \to \mathbb{Q}[x]$ tales que se cumplen las dos condiciones siguientes: $$\forall P , Q \in \mathbb{Q}[x] : f(P+Q)=f(P)+f(Q)$$ $$\forall P \in \mathbb{Q}[x] : \gcd(P , f(P))=1 \iff$$ $P$ es libre de cuadrados. Donde un polinomio libre de cuadrados con coeficientes racionales es un polinomio tal que no existe el cuadrado de un polinomio no constante con coeficientes racionales que lo divida. Propuesto por Sina Azizedin Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por Shayan-TayefehIR, 27 de mayo de 2024, 4:11 a. m. Z K Y
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La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. anantmudgal09 2002 publicaciones anantmudgal09 #1 h 2 de agosto de 2025, 1:14 a. m. • 3 Y Y por sami1618, sm100, cubres Alice y Bob están jugando un juego en un tablero de ajedrez de $n \times n$ ( $n \geqslant 2$ ). Inicialmente, la reina de Alice está colocada en la esquina inferior izquierda y la reina de Bob está en la esquina inferior derecha. Todas las demás casillas del tablero están cubiertas por piezas neutrales. Alice comienza primero y los dos jugadores se turnan. En cada turno, un jugador debe mover su reina para capturar una pieza. Una reina puede capturar una pieza si y solo si la pieza se encuentra en la misma fila, columna o diagonal que la reina, y no hay otras piezas entre ellas. Un jugador pierde si su reina es capturada o si no quedan piezas que pueda capturar. ¿Para qué valores de $n$ tiene Alice una estrategia ganadora? Z K Y
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2000 Apmo 2000 P4
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. shobber 3498 publicaciones shobber #1 h 1 de abril de 2006, 4:43 AM • 3 Y Y por Adventure10, HWenslawski, Mango247 Sean $n,k$ enteros positivos dados con $n>k$. Demuestre que: \[ \frac{1}{n+1} \cdot \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}} < \frac{n!}{k! (n-k)!} < \frac{n^n}{k^k(n-k)^{n-k}} \] Z K Y
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Bulgaria Egmo Tst P4
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Lukaluce 286 publicaciones Lukaluce #1 h 8 de mayo de 2022, 12:10 PM • 2 Y Y por ImSh95, mxsail Denotemos por $l(n)$ al mayor divisor primo de $n$. Sea $a_{n+1} = a_n + l(a_n)$ una sucesión de enteros definida recursivamente con $a_1 = 2$. Determine todos los números naturales $m$ tales que existe algún $i \in \mathbb{N}$ con $a_i = m^2$. Propuesto por Nikola Velov, Macedonia del Norte Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por Lukaluce, 10 de mayo de 2022, 9:33 AM Z K Y
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2024 Iran Team Selection Test 2024 P7
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