Cuatro puntos distintos están marcados en una línea. Para cada punto, se calcula la suma de las distancias desde dicho punto a los otros tres; obteniendo en total 4 números. Decidir si estos 4 números pueden ser, en algún orden: a) $29,29,35,37$ b) $28,29,35,37$ c) $28,34,34,37$

Un entero positivo $n$ es $inverosimil$ si existen $n$ enteros no necesariamente distintos tales que la suma y el producto de estos enteros son iguales a $n$. ¿Cuántos enteros positivos menores o iguales a $2022$ son $inverosímiles$?

Esteban el alquimista tiene $8088$ piezas de cobre, $6066$ piezas de bronce, $4044$ piezas de plata y $2022$ piezas de oro. Puede tomar dos piezas de diferentes metales y usar un martillo mágico para convertirlas en dos piezas de diferentes metales que él toma y diferentes entre sí. Encuentra el mayor número de piezas de oro que Esteban puede obtener después de usar el martillo mágico un número finito de veces. $\textbf{Note:}$ Si Esteban toma una pieza de cobre y una pieza de bronce, entonces las convierte en una pieza de plata y una de oro.

Sea $A_1A_2A_3A_4$ un rectángulo y sean $S_1,S_2,S_3,S_4$ cuatro circunferencias dentro del rectángulo tales que $S_k$ y $S_{k+1}$ son tangentes entre sí y tangentes al lado $A_kA_{k+1}$ para $k=1,2,3,4$, donde $A_5=A_1$ y $S_5=S_1$. Pruebe que $A_1A_2A_3A_4$ es un cuadrado.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y circuncentro $O$. Sea $D$ la intersección de $AO$ y $BH$. Sea $P$ el punto en $AB$ tal que $PH=PD$. Pruebe que los puntos $B, D, O$ y $P$ están en una circunferencia.

Ana, Beto, Carlos, Diana, Elena y Fabian están en un círculo, ubicados en ese orden. Ana, Beto, Carlos, Diana, Elena y Fabian tienen cada uno un pedazo de papel, donde están escritos los números reales $a,b,c,d,e,f$ respectivamente. Al final de cada minuto, todas las personas reemplazan simultáneamente el número en su papel por la suma de tres números; el número que estaba al principio del minuto en su papel y en los papeles de sus dos vecinos. Al final del minuto $2022, 2022$ reemplazos se han hecho y cada persona tiene en su papel su número inicial. Encuentra todos los posibles valores de $abc+def$. $\textbf{Note:}$ Si al principio del minuto $N$ Ana, Beto, Carlos tienen los números $x,y,z$ , respectivamente, entonces al final del minuto $N$ , Beto va a tener el número $x+y+z$.

Hay una pila con 2022 rocas. Ana y Beto juegan por turnos al siguiente juego, comenzando con Ana: en cada turno, si hay $n$ rocas en la pila, el jugador puede quitar $S(n)$ rocas o $n-S(n)$ rocas, donde $S(n)$ es la suma de los dígitos de $n$. La persona que quita la última roca gana. Determine cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y descríbala.

En $\triangle ABC$, $\angle B$ es obtuso y $AB \ne BC$. Sea $O$ el circuncentro y $\omega$ la circunferencia circunscrita de este triángulo. $N$ es el punto medio del arco $ABC$. La circunferencia circunscrita de $\triangle BON$ intersecta a $AC$ en los puntos $X$ e $Y$. Sea $BX \cap \omega = P \ne B$ y $BY \cap \omega = Q \ne B$. Demuestra que $P, Q$ y la reflexión de $N$ con respecto a la línea $AC$ son colineales.

Se eligen $N$ celdas en una cuadrícula rectangular. Sea $a_i$ el número de celdas elegidas en la $i$-ésima fila, $b_j$ es el número de celdas elegidas en la $j$-ésima columna. Demuestra que $$ \prod_{i} a_i! \cdot \prod_{j} b_j! \leq N! $$

Demuestra que la expresión $$ (1^4+1^2+1)(2^4+2^2+1)\dots(n^4+n^2+1)$$ no es un cuadrado para todo $n \in \mathbb{N}$