2000 Junior Balkan Mo 2000 P4
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Iris Aliaj 165 publicaciones Iris Aliaj #1 h 10 de junio de 2004, 5:40 AM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En un torneo de tenis participaron $2n$ chicos y $n$ chicas. Cada jugador jugó contra todos los demás jugadores. Los chicos ganaron $\frac 75$ veces más partidos que las chicas. Se sabe que no hubo empates. Encuentre $n$. Serbia Z K Y
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2000 Junior Balkan Mo 2000 P2
La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Valentin Vornicu 7301 publicaciones Valentin Vornicu #1 h 29 de octubre de 2005, 7:37 PM • 6 Y Y por jam10307, ahmedosama, Adventure10, rightways, Mango247 y otro usuario Encuentre todos los enteros positivos $n\geq 1$ tales que $n^2+3^n$ sea el cuadrado de un entero. Bulgaria Z K Y
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La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. anantmudgal09 2002 publicaciones anantmudgal09 #1 h 2 de agosto de 2025, 1:15 a. m. • 3 Y Y por buratinogigle, sami1618, cubres Sea $ABCD$ un cuadrilátero que posee tanto un círculo inscrito como un círculo circunscrito. Sean $I$ y $O$ el incentro y el circuncentro de $ABCD$, respectivamente. Sea $E$ la intersección de las rectas $AB$ y $CD$, y sea $F$ la intersección de las rectas $BC$ y $DA$. Sean $X$ e $Y$ las intersecciones de la recta $FI$ con las rectas $AB$ y $CD$, respectivamente. Demuestre que el círculo circunscrito del $\triangle EIF$, el círculo circunscrito del $\triangle EXY$ y la recta $FO$ son concurrentes. Z K Y
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La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. anantmudgal09 2002 publicaciones anantmudgal09 #1 h 2 de agosto de 2025, 1:16 a. m. Y por Para un multiconjunto $A$, defina $$f(A, i, m) = \sum_{a \in A, \, 3 \mid a-i} a^m$$ y sea $g(A, m)$ el conjunto $\{f(A, 0, m), f(A, 1, m), f(A, 2, m)\}$. Suponga que para algún multiconjunto $S$ tenemos que $$\left|g(S, 0)\right|=\left|g(S, 1)\right|=1, \left|g(S, 2)\right|=3.$$ Demuestre que existe algún entero $k \ne 0$ divisible por $6$ tal que si definimos el multiconjunto $T := \{x_1+x_2+\dots+x_k \, | \, (x_1, x_2, \dots, x_k) \in S^k\}$, entonces $$f(T, 0, 2k) \leqslant \frac{f(T, 1, 2k)+f(T, 2, 2k)}{2}.$$ Propuesto por Pranjal Srivastava Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por anantmudgal09, 2 de agosto de 2025, 11:44 p. m. Z K Y
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Bulgaria Egmo Tst P4
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Lukaluce 286 publicaciones Lukaluce #1 h 8 de mayo de 2022, 12:10 PM • 2 Y Y por ImSh95, mxsail Denotemos por $l(n)$ al mayor divisor primo de $n$. Sea $a_{n+1} = a_n + l(a_n)$ una sucesión de enteros definida recursivamente con $a_1 = 2$. Determine todos los números naturales $m$ tales que existe algún $i \in \mathbb{N}$ con $a_i = m^2$. Propuesto por Nikola Velov, Macedonia del Norte Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por Lukaluce, 10 de mayo de 2022, 9:33 AM Z K Y
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France Team Selection Test P2
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Sayan 2130 publicaciones Sayan #1 h 13 de junio de 2014, 8:56 PM • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, Mamadi Dos círculos $O_1$ y $O_2$ se intersecan en $M$ y $N$. La tangente común a los dos círculos más cercana a $M$ toca a $O_1$ y $O_2$ en $A$ y $B$ respectivamente. Sean $C$ y $D$ las reflexiones de $A$ y $B$ respectivamente con respecto a $M$. El circuncírculo del triángulo $DCM$ interseca a los círculos $O_1$ y $O_2$ respectivamente en los puntos $E$ y $F$ (ambos distintos de $M$). Demuestre que los circuncírculos de los triángulos $MEF$ y $NEF$ tienen la misma longitud de radio. Z K Y
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2000 Apmo 2000 P4
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. shobber 3498 publicaciones shobber #1 h 1 de abril de 2006, 4:43 AM • 3 Y Y por Adventure10, HWenslawski, Mango247 Sean $n,k$ enteros positivos dados con $n>k$. Demuestre que: \[ \frac{1}{n+1} \cdot \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}} < \frac{n!}{k! (n-k)!} < \frac{n^n}{k^k(n-k)^{n-k}} \] Z K Y
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La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. shobber 3498 publicaciones shobber #1 h 1 de abr. de 2006, 4:36 a. m. • 5 Y Y por Adventure10, TFIRSTMGMEDALIST, jmiao, Mango247 y otro usuario más. Calcule la suma: $\sum_{i=0}^{101} \frac{x_i^3}{1-3x_i+3x_i^2}$ para $x_i=\frac{i}{101}$ . Z K Y
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2003 Imoimo 2003 P6
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. iandrei 138 publicaciones iandrei #1 h 14 de julio de 2003, 12:11 PM • 11 Y Y por Davi-8191, anantmudgal09, nguyendangkhoa17112003, N0Lik, Adventure10, megarnie, Mango247, Shinobu...Kocho, mxsail y otros 2 usuarios Sea $p$ un número primo. Demuestre que existe un número primo $q$ tal que para todo entero $n$, el número $n^p-p$ no es divisible por $q$. Adjuntos: Z K Y
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2000 Apmo 2000 P5
La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. shobber 3498 publicaciones shobber #1 h 1 de abr. de 2006, 4:40 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, TFIRSTMGMEDALIST, Mango247 Dada una permutación ( $a_0, a_1, \ldots, a_n$ ) de la sucesión $0, 1,\ldots, n$ . Un transporte de $a_i$ con $a_j$ se llama legal si $a_i=0$ para $i>0$ , y $a_{i-1}+1=a_j$ . La permutación ( $a_0, a_1, \ldots, a_n$ ) se llama regular si después de un número de transportes legales se convierte en ( $1,2, \ldots, n,0$ ) . ¿Para qué números $n$ es regular la permutación ( $1, n, n-1, \ldots, 3, 2, 0$ )? Z K Y
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