Sea $\mathbb{S}$ el conjunto de números primos que son menores o iguales a 26. ¿Existen $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 \in \mathbb{N}$ tales que $$ gcd(a_i,a_j) \in \mathbb{S} \qquad \text {para } 1\leq i \ne j \leq 6$$ y para cada elemento $p$ de $\mathbb{S}$ existe un par de $ 1\leq k \ne l \leq 6$ tal que $$s=gcd(a_k,a_l)?$$

Una calculadora puede elevar al cuadrado un número o sumarle $1$. No puede sumar $1$ dos veces seguidas. Mediante varias operaciones, transformó un número $x$ en un número $S > x^n + 1$ ($x, n,S$ son enteros positivos). Demuestra que $S > x^n + x - 1$.

El plano de una galería de arte es una figura de tablero de ajedrez donde cada cuadrado es una habitación, y se puede llegar a todas las habitaciones desde cualquier otra moviéndose a habitaciones adyacentes. Un custodio en una habitación puede vigilar todas las habitaciones a las que se puede llegar desde esta habitación con un movimiento de una reina de ajedrez (sin salir de la galería). ¿Qué número mínimo de custodios es suficiente para vigilar todas las habitaciones en cada galería de $n$ habitaciones ($n > 2$)?

Se da un trapecio $ABCD$ con $BC // AD$. Los puntos $B'$ y $C'$ son simétricos a $B$ y $C$ con respecto a $CD$ y $AB$, respectivamente. Demuestra que el punto medio del segmento que une los circuncentros de $ABC'$ y $B'CD$ es equidistante de $A$ y $D$.

En una secuencia $a_1, a_2, ..$ de números reales, el producto $a_1a_2$ es negativo, y para definir $a_n$ para $n > 2$, se elige un par $(i, j)$ entre todos los pares $(i, j), 1 \le i < j < n$, no elegidos antes, de modo que $a_i +a_j$ tenga el valor absoluto mínimo, y luego $a_n$ se establece igual a $a_i + a_j$. Demuestra que $|a_i| < 1$ para algún $i$.

Andy, Bess, Charley y Dick juegan en un tablero de $1000 \times 1000$. Hacen movimientos por turnos: Andy primero, luego Bess, luego Charley y finalmente Dick, después de eso Andy se mueve de nuevo y así sucesivamente. En cada movimiento, un jugador debe pintar varios cuadrados sin pintar formando un rectángulo de $2 \times 1, 1 \times 2, 1 \times 3$ o $3 \times 1$. El jugador que no puede moverse pierde. Demuestra que algunos tres jugadores pueden cooperar para hacer perder al cuarto jugador.

Un círculo $\omega$ toca los lados $A$ B y $BC$ de un triángulo $ABC$ e intersecta su lado $AC$ en $K$. Se sabe que la tangente a $\omega$ en $K$ es simétrica a la línea $AC$ con respecto a la línea $BK$. ¿Cuál puede ser la diferencia $AK -CK$ si $AB = 9$ y $BC = 11$?

Sea $\mathbb{S}$ el conjunto de números primos que son menores o iguales a 26. ¿Existen $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 \in \mathbb{N}$ tales que $$ gcd(a_i,a_j) \in \mathbb{S} \qquad \text {para } 1\leq i \ne j \leq 6$$ y para cada elemento $p$ de $\mathbb{S}$ existe un par de $ 1\leq k \ne l \leq 6$ tal que $$s=gcd(a_k,a_l)?$$

¿Es posible dibujar en el plano el gráfico presentado en la figura de modo que todos los vértices sean puntos diferentes y todos los bordes sean segmentos unitarios? (Los segmentos pueden intersectarse en puntos diferentes de los vértices).

Una cuota de diplomas en la Olimpiada Rusa debe ser estrictamente menor al $45\%$. Más de $20$ estudiantes participaron en la olimpiada. Después de la olimpiada, las Autoridades declararon los resultados bajos porque la cuota de diplomas fue significativamente menor al $45\%$. El Jurado respondió que la cuota ya era máxima posible en esta olimpiada o en cualquier otra olimpiada con un número menor de participantes. Entonces las Autoridades ordenaron aumentar el número de participantes para la próxima olimpiada de modo que la cuota de diplomas se acercara al menos dos veces más al $45\%$. Demuestra que el número de participantes debe al menos duplicarse.