El plano de una galería de arte es una figura de tablero de ajedrez donde cada cuadrado es una habitación, y se puede llegar a todas las habitaciones desde cualquier otra moviéndose a habitaciones adyacentes por lado. Un custodio en una habitación puede vigilar todas las habitaciones a las que se puede llegar desde esta habitación con un movimiento de una torre de ajedrez (sin salir de la galería). ¿Qué número mínimo de custodios es suficiente para vigilar todas las habitaciones en cada galería de $n$ habitaciones ($n > 1$)?

Un triángulo $ABC$ con $AB < AC$ está inscrito en un círculo $\omega$. Los círculos $\gamma_1$ y $\gamma_2$ tocan las líneas $AB$ y $AC$, y sus centros se encuentran en la circunferencia de $\omega$. Demuestra que $C$ se encuentra en una tangente externa común a $\gamma_1$ y $\gamma_2$.

En una secuencia $a_1, a_2, ..$ de números reales, el producto $a_1a_2$ es negativo, y para definir $a_n$ para $n > 2$, se elige un par $(i, j)$ entre todos los pares $(i, j), 1 \le i < j < n$, no elegidos antes, de modo que $a_i +a_j$ tenga el valor absoluto mínimo, y luego $a_n$ se establece igual a $a_i + a_j$. Demuestra que $|a_i| < 1$ para algún $i$.

Sea $ABCDE$ un pentágono tal que $AE = ED$ y $BC = CD$. Se sabe que $\angle BAE + \angle EDC + \angle CBA = 360^o$ y que $P$ es el punto medio de $AB$. Demostrar que el triángulo $ECP$ es recto.

Demostrar que para todo entero $k \ge 2$ existen $k$ números naturales diferentes $n_1$ , $n_2$ , $...$ , $n_k$ tales que: $$\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}+...+\frac{1}{n_k}=\frac{3}{17}$$

$x$ e $y$ son números reales tales que $6 - x$ , $3 + y^2$ , $11 + x$ , $14 - y^2$ son mayores que cero. Hallar el máximo de la función $$f(x,y) = \sqrt{(6 -x)(3 + y^2)} + \sqrt{(11 + x)(14 - y^2)}.$$

Dados tres puntos $A, B$ y $C$ (no colineales) construir el triángulo equilátero de mayor perímetro tal que cada uno de sus lados pase por uno de los puntos dados.

Se escribe un entero en cada celda de un tablero de $N$ filas y $N + 1$ columnas. Demostrar que algunas columnas (posiblemente ninguna) se pueden eliminar de modo que en cada fila la suma de los números que quedan sin tachar sea par.

Hallar todas las funciones $f$ definidas en los enteros mayores o iguales que $1$ que satisfacen:\n(a) Para todo $n, f(n)$ es un entero positivo.\n(b) $f(n + m) = f(n)f(m)$ para todo $m$ y $n$.\n(c) Existe $n_0$ tal que $f(f(n_0)) = [f(n_0)]^2$.

El polinomio $1976(x+x^2+ \cdots +x^n)$ se descompone en una suma de polinomios de la forma $a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n$ , donde $a_1, a_2, \ldots , a_n$ son enteros positivos distintos no mayores que $n$ . Encuentra todos los valores de $n$ para los cuales tal descomposición es posible.