La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. pinetree1 1208 publicaciones pinetree1 #1 h 1 de marzo de 2020, 4:00 AM • 7 Y Y por magicarrow, amar_04, NJOY, GeoMetrix, Aryan-23, pavel kozlov, Mop2018 Sea $ABC$ un triángulo con un ángulo recto en $C$. Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$, y sea $D$ el pie de la altura desde $C$ a $AB$. El incírculo $\omega$ del triángulo $ABC$ es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en $A_1$, $B_1$ y $C_1$, respectivamente. Sean $E$ y $F$ las reflexiones de $C$ en las rectas $C_1A_1$ y $C_1B_1$, respectivamente. Sean $K$ y $L$ las reflexiones de $D$ en las rectas $C_1A_1$ y $C_1B_1$, respectivamente. Demuestre que los circuncírculos de los triángulos $A_1EI$, $B_1FI$ y $C_1KL$ tienen un punto en común. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por pinetree1, 1 de marzo de 2020, 4:03 AM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. DylanN 212 publicaciones DylanN #1 h 9 de abril de 2019, 1:54 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, cubres Las tangentes al circuncírculo del $\triangle ABC$ en $B$ y $C$ se cortan en $D$. El circuncírculo del $\triangle BCD$ corta a los lados $AC$ y $AB$ nuevamente en $E$ y $F$ respectivamente. Sea $O$ el circuncentro del $\triangle ABC$. Demuestre que $AO$ es perpendicular a $EF$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. shobber 3498 publicaciones shobber #1 h 1 de abr. de 2006, 4:40 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, TFIRSTMGMEDALIST, Mango247 Dada una permutación ( $a_0, a_1, \ldots, a_n$ ) de la sucesión $0, 1,\ldots, n$ . Un transporte de $a_i$ con $a_j$ se llama legal si $a_i=0$ para $i>0$ , y $a_{i-1}+1=a_j$ . La permutación ( $a_0, a_1, \ldots, a_n$ ) se llama regular si después de un número de transportes legales se convierte en ( $1,2, \ldots, n,0$ ) . ¿Para qué números $n$ es regular la permutación ( $1, n, n-1, \ldots, 3, 2, 0$ )? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Iris Aliaj 165 publicaciones Iris Aliaj #1 h 10 de junio de 2004, 5:40 AM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En un torneo de tenis participaron $2n$ chicos y $n$ chicas. Cada jugador jugó contra todos los demás jugadores. Los chicos ganaron $\frac 75$ veces más partidos que las chicas. Se sabe que no hubo empates. Encuentre $n$. Serbia Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Assassino9931 1926 publicaciones Assassino9931 #1 h 2 de mayo de 2025, 5:49 PM Y por En la pizarra están escritos $n \geq 2$ enteros positivos con mínimo común múltiplo $K$ y máximo común divisor $1$. Se sabe que $K$ no es un cuadrado perfecto y no se encuentra entre los números escritos inicialmente. Dos jugadores $A$ y $B$ juegan el siguiente juego, turnándose alternativamente, con $A$ comenzando primero. En un movimiento, el jugador debe escribir un número que no haya sido escrito hasta el momento, tomando dos enteros distintos $a$ y $b$ de la pizarra y escribiendo $\text{lcm}(a,b)$ o $\text{lcm}(a,b) / a$. El jugador que escribe $1$ o $K$ pierde. ¿Quién tiene una estrategia ganadora? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Lukaluce 286 publicaciones Lukaluce #1 h 8 de mayo de 2022, 12:10 PM • 2 Y Y por ImSh95, mxsail Denotemos por $l(n)$ al mayor divisor primo de $n$. Sea $a_{n+1} = a_n + l(a_n)$ una sucesión de enteros definida recursivamente con $a_1 = 2$. Determine todos los números naturales $m$ tales que existe algún $i \in \mathbb{N}$ con $a_i = m^2$. Propuesto por Nikola Velov, Macedonia del Norte Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por Lukaluce, 10 de mayo de 2022, 9:33 AM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Cessio 22 publicaciones Cessio #1 h 3 de feb. de 2025, 1:28 p. m. Y por Para dos números naturales $a$ y $b$, denotamos con $\overline{ab}$ el número que resulta al escribir $a$ delante de $b$. Por ejemplo, si $a=20$ y $b=25$, entonces $\overline{ab}=2025$. Demuestre que la ecuación $(a+b)^2 = \overline{ab}$ tiene infinitas soluciones en números naturales. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Assassino9931 1926 publicaciones Assassino9931 #1 h 3 de febrero de 2025, 9:38 a. m. Y por En cada celda de una tabla de $2025 \times 2025$ hay una moneda de oro. Al principio elegimos una celda y nos movemos en cualquiera de las cuatro direcciones, a nuestra elección, a una celda adyacente por lado. En cada movimiento subsiguiente, debemos mirar a la izquierda o a la derecha y movernos una celda. (En otras palabras, cada movimiento vertical en la tabla debe ser seguido por un movimiento horizontal, y viceversa). ¿Como máximo cuántas monedas podemos recolectar, si no está permitido visitar ninguna celda dos veces? (La celda inicial se considera visitada desde el principio). Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por Assassino9931, 2 de mayo de 2025, 5:44 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. iandrei 138 publicaciones iandrei #1 h 14 de julio de 2003, 12:09 PM • 15 Y Y por Davi-8191, nguyendangkhoa17112003, TurtleKing123, HWenslawski, Adventure10, centslordm, megarnie, proxima1681, Mahmood.sy, Mango247, Rounak_iitr, Shinobu...Kocho, mxsail, y otros 2 usuarios Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Sean $P$ , $Q$ , $R$ los pies de las perpendiculares desde $D$ a las rectas $BC$ , $CA$ , $AB$ , respectivamente. Demuestre que $PQ=QR$ si y solo si las bisectrices de $\angle ABC$ y $\angle ADC$ son concurrentes con $AC$ . Adjuntos: Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. shobber 3498 publicaciones shobber #1 h 1 de abril de 2006, 4:43 AM • 3 Y Y por Adventure10, HWenslawski, Mango247 Sean $n,k$ enteros positivos dados con $n>k$. Demuestre que: \[ \frac{1}{n+1} \cdot \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}} < \frac{n!}{k! (n-k)!} < \frac{n^n}{k^k(n-k)^{n-k}} \] Z K Y