Demostrar que $5^n$ tiene un bloque de $1976$ ceros consecutivos en su representación decimal.

Determine el mayor número, que es el producto de algunos enteros positivos, y la suma de estos números es $1976.$

Sea $P_{1}(x)=x^{2}-2$ y $P_{j}(x)=P_{1}(P_{j-1}(x))$ para j $=2,\ldots$ Demuestre que para cualquier entero positivo n las raíces de la ecuación $P_{n}(x)=x$ son todas reales y distintas.

Sea $P$ un polinomio con coeficientes reales tal que $P(x) > 0$ si $x > 0$ . Demuestre que existen polinomios $Q$ y $R$ con coeficientes no negativos tales que $P(x) = \frac{Q(x)}{R(x)}$ si $x > 0.$

Sea $I = (0, 1]$ el intervalo unidad de la recta real. Para un número dado $a \in (0, 1)$ definimos una función $T : I \to I$ mediante la fórmula si \[ T (x, y) = \begin{cases} x + (1 - a),&\mbox{ si } 0< x \leq a,\ \text{ } \ x - a, & \mbox{ si } a < x \leq 1.\end{cases} \] Demuestre que para cada intervalo $J \subset I$ existe un entero $n > 0$ tal que $T^n(J) \cap J \neq \emptyset.$

Una caja con forma de paralelepípedo se puede llenar completamente con cubos de lado $1$. Si colocamos en ella el máximo número posible de cubos, cada uno de volumen $2$, con los lados paralelos a los de la caja, entonces exactamente el $40$ por ciento del volumen de la caja está ocupado. Determine las posibles dimensiones de la caja.

Consideramos el siguiente sistema con $q=2p$ : \[\begin{matrix} a_{11}x_{1}+\ldots+a_{1q}x_{q}=0,\\ a_{21}x_{1}+\ldots+a_{2q}x_{q}=0,\\ \ldots ,\\ a_{p1}x_{1}+\ldots+a_{pq}x_{q}=0,\\ \end{matrix}\] en el que cada coeficiente es un elemento del conjunto $\{-1,0,1\}$ $.$\nDemuestre que existe una solución $x_{1}, \ldots,x_{q}$ para el sistema con las propiedades: a.) todos $x_{j}, j=1,\ldots,q$ son enteros $;$ b.) existe al menos un j para el cual $x_{j} \neq 0;$ c.) $|x_{j}| \leq q$ para cualquier $j=1, \ldots ,q.$

Una secuencia $(u_{n})$ está definida por \[ u_{0}=2 \quad u_{1}=\frac{5}{2}, u_{n+1}=u_{n}(u_{n-1}^{2}-2)-u_{1} \quad \textnormal{para } n=1,\ldots \] Demuestre que para cualquier entero positivo $n$ tenemos \[ [u_{n}]=2^{\frac{(2^{n}-(-1)^{n})}{3}} \] (donde [x] denota el entero más pequeño $\leq$ x ) $.$

En un cuadrilátero convexo (en el plano) con un área de $32 \text{ cm}^{2}$ la suma de dos lados opuestos y una diagonal es $16 \text{ cm}$ . Determine todos los valores posibles que la otra diagonal puede tener.

Sean $a_0, a_1, \ldots, a_n, a_{n+1}$ una secuencia de números reales que satisfacen las siguientes condiciones: \[a_0 = a_{n+1 }= 0,\] \[ |a_{k-1} - 2a_k + a_{k+1}| \leq 1 \quad (k = 1, 2,\ldots , n).\] Demuestre que $|a_k| \leq \frac{k(n+1-k)}{2} \quad (k = 0, 1,\ldots ,n + 1).$