Sea $ABC$ un triángulo con bisectrices $AA_1,BB_1, CC_1$ ( $A_1 \in BC$ , etc.) y $M$ su punto común. Considere los triángulos $MB_1A, MC_1A,MC_1B,MA_1B,MA_1C,MB_1C$ , y sus círculos inscritos. Demuestre que si cuatro de estos seis círculos inscritos tienen radios iguales, entonces $AB = BC = CA.$

Sea $n > 2$ un número natural. Un subconjunto $A$ de $R$ se dice $n$ - pequeño si existen $n$ números reales $t_1, t_2, ..., t_n$ tales que los conjuntos $t_1 + A, t_2 + A, ..., t_n + A$ son diferentes. Demostrar que $R$ no puede ser representado como una unión de $n - 1$ conjuntos $n$ - pequeños. Notación: si $r \in R$ y $B \subset R$, entonces $r + B = \{r + b | b \in B\}$.

Divide cada lado de un triángulo en $50$ partes iguales, y cada punto de la división se une al vértice opuesto por un segmento. Calcular el número de puntos de intersección determinados por estos segmentos. Clarificación: los vértices del triángulo original no se consideran puntos de intersección o división.

Encuentra todas las funciones $f:Z\to Z$ con la siguiente propiedad: si $x+y+z=0$, entonces $f(x)+f(y)+f(z)=xyz$.

Sea $p > 3$ un número primo y $x$ un entero, denotemos por $r(x) \in \{0, 1, ..., p - 1\}$ al resto de $x$ módulo $p$. Sean $x_1, x_2, ..., x_k$ ($2 < k < p$) enteros distintos módulo $p$ y no divisibles por $p$. Decimos que un número $a \in \{1, 2, ..., p - 1\}$ es bueno si $r(a x_1) < r(a x_2) < ... < r(a x_k)$. Demostrar que hay a lo sumo $\frac{2 p}{k + 1} - {1}$ números buenos.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. El círculo con centro en $I$ que pasa por $B$ interseca a $AC$ en los puntos $E$ y $F$, con $E$ y $F$ entre $A$ y $C$ y distintos entre sí. El círculo circunscrito al triángulo $IEF$ interseca a los segmentos $EB$ y $FB$ en $Q$ y $R$, respectivamente. La línea $QR$ interseca a los lados $A B$ y $B C$ en $P$ y $S$, respectivamente. Si $a, b$ y $c$ son las medidas de los lados $B C, CA$ y $A B$, respectivamente, calcule las medidas de $B P$ y $B S$.

Determinar los valores de $n \in N$ tal que un cuadrado de lado $n$ puede ser dividido en un cuadrado de lado $1$ y cinco rectángulos cuyas medidas de sus lados son $10$ números naturales distintos y todos mayores que $1$.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen enteros positivos $x_1, x_2, \dots, x_n$ tales que $$ \frac{1}{x_1^2}+\frac{2}{x_2^2}+\frac{2^2}{x_3^2}+\cdots +\frac{2^{n-1}}{x_n^2}=1.$$

Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con circuncírculo $\omega$ e incentro $I$ . Suponga que el ortocentro $H$ de $BIC$ se encuentra dentro de $\omega$ . Sea $M$ el punto medio del arco más largo $BC$ de $\omega$ . Sea $N$ el punto medio del arco más corto $AM$ de $\omega$ . Demuestre que existe un círculo tangente a $\omega$ en $N$ y tangente a los circuncírculos de $BHI$ y $CHI$ .

Llamamos a un entero positivo $N$ contagioso si hay $1000$ enteros no negativos consecutivos tales que la suma de todos sus dígitos es $N$ . Encuentra todos los enteros positivos contagiosos.