Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de enteros positivos. Determine todos los enteros positivos $k$ para los cuales existen funciones $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ y $g: \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tal que $g$ asume infinitos valores y tal que $$ f^{g(n)}(n)=f(n)+k$$ se cumple para cada entero positivo $n$ . (Observación. Aquí, $f^{i}$ denota la función $f$ aplicada $i$ veces i.e $f^{i}(j)=f(f(\dots f(j)\dots ))$ . )

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $X$ un punto en el plano de este triángulo. Sean $M,N,P$ las proyecciones ortogonales de $X$ en las líneas que contienen las alturas de este triángulo. Determine las posiciones del punto $X$ tales que el triángulo $MNP$ es congruente a $ABC$.

Sea $n$ un número natural $n>3$. Demuestra que en los múltiplos de $9$ menores que $10^n$, existen más números con la suma de sus dígitos igual a $9(n - 2)$ que números con la suma de sus dígitos igual a $9(n - 1)$.

Considera un tablero con $n$ filas y $4$ columnas. En la primera línea están escritos $4$ ceros (uno en cada casilla). Luego, cada línea se obtiene de la línea anterior realizando la siguiente operación: una de las casillas (que puedes elegir) se mantiene como en la línea anterior; las otras tres se cambian: * si en la línea anterior había un $0$, entonces en el cuadrado de abajo se coloca un $1$; * si en la línea anterior había un $1$, entonces en el cuadrado de abajo se coloca un $2$; * si en la línea anterior había un $2$, entonces en el cuadrado de abajo se coloca un $0$; Construye el tablero más grande posible con todas sus líneas distintas y demuestra que es imposible construir un tablero más grande.

Demuestra que existen infinitas triples $(a, b, c)$ donde $a, b, c$ son números naturales, tales que: $2a^2 + 3b^2 - 5c^2 = 1997$

Sea $C$ una circunferencia, $O$ es su circuncentro, $AB$ es su diámetro y $R$ es cualquier punto en $C$ ($R$ es diferente de $A$ y $B$) Sea $P$ el pie de la perpendicular de $O$ a $AR$, en la línea $OP$ encontramos un punto $Q$, donde $QP$ es $\frac{OP}{2}$ y el punto $Q$ no está en el segmento $OP$. En $Q$, haremos una línea paralela a $AB$ que corta la línea $AR$ en $T$. Denotamos $H$ el punto de intersección de la línea $AQ$ y $OT$. Demuestra que $H$, $B$ y $R$ son colineales.

Tenemos $98$ cartas, en cada una escribiremos uno de los números: $1, 2, 3, 4,...., 97, 98$. Podemos ordenar las $98$ cartas, en una secuencia tal que dos números consecutivos $X$ e $Y$ y el número $X - Y$ es mayor que $48$, determine cómo y de cuántas maneras podemos hacer esta secuencia!!

Encuentra todos los números primos $ p,q,r$ , tales que $ \frac{p}{q}-\frac{4}{r+1}=1$

Determina el mayor número con $n$ dígitos en la representación decimal que es divisible por $429$ y tiene la suma de todos los dígitos menor o igual que $11$.

Demuestra que $2^n + 3^n$ no es un cubo perfecto para ningún entero positivo $n$.