Encuentra todos los polinomios $f(x)$ con coeficientes reales para los cuales \[f(x)f(2x^2) = f(2x^3 + x).\]

Los números reales $\alpha_1 , \alpha_2, \alpha_3, \ldots, \alpha_n$ son positivos. Denotemos por $h = \frac{n}{1/\alpha_1 + 1/\alpha_2 + \cdots + 1/\alpha_n}$ la media armónica, $g=\sqrt[n]{\alpha_1\alpha_2\cdots \alpha_n}$ la media geométrica, y $a=\frac{\alpha_1+\alpha_2+\cdots + \alpha_n}{n}$ la media aritmética. Demuestra que $h \leq g \leq a$ , y que cada una de las igualdades implica la otra.

La secuencia $(a_n)$ de números reales se define como sigue: \[a_1=1, \qquad a_2=2, \quad \text{y} \quad a_n=3a_{n-1}-a_{n-2} , \ \ n \geq 3.\] Demuestra que para $n \geq 3$ , $a_n=\left[ \frac{a_{n-1}^2}{a_{n-2}} \right] +1$ , donde $[x]$ denota el entero $p$ tal que $p \leq x < p + 1$ .

$M = (a_{i,j} ), \ i, j = 1, 2, 3, 4$ , es una matriz cuadrada de orden cuatro. Dado que: (i) para cada $i = 1, 2, 3,4$ y para cada $k = 5, 6, 7$ , \[a_{i,k} = a_{i,k-4};\] \[P_i = a_{1,}i + a_{2,i+1} + a_{3,i+2} + a_{4,i+3};\] \[S_i = a_{4,i }+ a_{3,i+1} + a_{2,i+2} + a_{1,i+3};\] \[L_i = a_{i,1} + a_{i,2} + a_{i,3} + a_{i,4};\] \[C_i = a_{1,i} + a_{2,i} + a_{3,i} + a_{4,i},\] (ii) para cada $i, j = 1, 2, 3, 4$ , $P_i = P_j , S_i = S_j , L_i = L_j , C_i = C_j$ , y (iii) $a_{1,1} = 0, a_{1,2} = 7, a_{2,1} = 11, a_{2,3} = 2$ , y $a_{3,3} = 15$ . Encuentra la matriz M.

Demuestra que $\frac 12 \cdot \sqrt{4\sin^2 36^{\circ} - 1}=\cos 72^\circ$.

Describir qué enteros positivos no pertenecen al conjunto \[E = \left\{ \lfloor n+ \sqrt n +\frac 12 \rfloor | n \in \mathbb N\right\}.\]

De una bolsa que contiene 5 pares de calcetines, cada par de un color diferente, se extrae una muestra aleatoria de 4 calcetines individuales. Cualquier par completo en la muestra se descarta y se reemplaza por un nuevo par extraído de la bolsa. El proceso continúa hasta que la bolsa está vacía o hay 4 calcetines de diferentes colores fuera de la bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de la última alternativa?

¿Es posible particionar el espacio euclidiano $3$ - dimensional en $1979$ subconjuntos mutuamente isométricos?

Para un conjunto finito $E$ de cardinalidad $n \geq 3$, sea $f(n)$ denota el número máximo de subconjuntos de $3$ elementos de $E$, cualesquiera dos de ellos teniendo exactamente un elemento común. Calcular $f(n)$.

Demostrar que en el plano euclidiano todo polígono regular que tiene un número par de lados puede ser diseccionado en rombos. (Un rombo es un cuadrilátero cuyos cuatro lados son todos de igual longitud).