La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. sketchydealer05 35 publicaciones sketchydealer05 #1 h 16 de abr. de 2023, 4:05 p. m. • 13 Y Y por v4913, CyclicISLscelesTrapezoid, CT17, OronSH, mathmax12, mahaler, ETS1331, Danielzh, HWenslawski, Amir Hossein, ItsBesi, cubres, GA34-261 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $D$ el punto en su circuncírculo tal que $AD$ es un diámetro. Suponga que los puntos $K$ y $L$ yacen sobre los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente, y que $DK$ y $DL$ son tangentes al círculo $AKL$. Demuestre que la recta $KL$ pasa por el ortocentro del triángulo $ABC$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Valentin Vornicu 7301 publicaciones Valentin Vornicu #1 h 25 de abr. de 2006, 8:13 a. m. • 4 Y Y por Adventure10, Nguyen_BK, Mango247 y otro usuario más. Sea $p$ un primo y $m \geq 2$ un entero. Demuestre que la ecuación \[ \frac{ x^p + y^p } 2 = \left( \frac{ x+y } 2 \right)^m \] tiene una solución en enteros positivos $(x, y) \neq (1, 1)$ si y solo si $m = p$. Rumania Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por Amir Hossein, 21 de mar. de 2016, 12:57 p. m. Z K Y

Todos los números naturales del $1$ al $2025$ están escritos en una pizarra en algún orden (cada número está escrito exactamente una vez). Barbora hace lo siguiente: si el primer número escrito en la pizarra es $k$, ella borra los primeros $k$ números, luego escribe los mismos números en orden inverso al principio de la pizarra, y el orden de los términos restantes no cambia. (Por ejemplo, la sucesión $\{3, 5, 10, 4, ...\}$ se convierte en $\{10, 5, 3, 4, ...\}$). Demuestre que después de un número finito de movimientos, el primer número escrito en la pizarra será $1$.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 5 de sep. de 2018, 2:23 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $c > 1$ un número real. Una función $f: [0 ,1 ] \to R$ se denomina c-amigable si $f(0) = 0, f(1) = 1$ y $|f(x) -f(y)| \le c|x - y|$ para todos los números $x ,y \in [0,1]$ . Encuentre el máximo de la expresión $|f(x) - f(y)|$ para todas las funciones c-amigables $f$ y para todos los números $x,y \in [0,1]$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathisreal 918 publicaciones mathisreal #1 h 2 de abril de 2018, 6:27 PM • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, mxsail Inicialmente uno tiene el número $0$ en cada celda de la tabla $29 \times 29$. Un movimiento consiste en elegir una subtabla $5 \times 5$ y sumar $+1$ a cada celda de esta subtabla. Encuentre el valor máximo de $n$, tal que después de $1000$ movimientos, existan $4$ celdas tales que sus centros sean vértices de un cuadrado y la suma de estas $4$ celdas sea al menos $n$. Nota: Un cuadrado no tiene, necesariamente, sus lados paralelos a los lados de la tabla. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por mathisreal, 4 de septiembre de 2021, 10:21 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 4 de octubre de 2025, 12:59 PM • 1 Y Y por cubres Encuentre todos los racionales positivos $(x, y)$ que satisfacen la ecuación: $$yx^y = y + 1.$$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 13 de sep. de 2018, 2:44 p. m. • 3 Y Y por donotoven, Adventure10, Mango247 Complete las esquinas del cuadrado, de modo que la suma de los números en cada una de las $5$ líneas del cuadrado sea la misma y la suma de las cuatro esquinas sea $123$. Adjuntos: Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 13 de sep. de 2018, 3:32 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Para cada entero positivo $n$, sea $S(n)$ la suma de los dígitos de $n$. Determine el entero positivo $a$ más pequeño tal que existen infinitos enteros positivos $n$ para los cuales se tiene $S(n) - S(n + a) = 2018$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 5 de sep. de 2018, 2:33 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Cuando los números naturales se escriben uno tras otro de manera creciente, se obtiene una sucesión infinita de dígitos $123456789101112 ....$ Denotemos $A_k$ como el número formado por los primeros $k$ dígitos de esta sucesión. Demuestre que para todo entero positivo $n$ existe un entero positivo $m$ que verifica simultáneamente las siguientes tres condiciones: (i) $n$ divide a $A_m$, (ii) $n$ divide a $m$, (iii) $n$ divide a la suma de los dígitos de $A_m$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 5 de sep. de 2018, 3:09 p. m. Motivo: error tipográfico, se escribió 's' en lugar de 'm' Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 13 de sep. de 2018, 3:34 a. m. • 3 Y Y por donotoven, Adventure10, Mango247 Determine los pares de números enteros positivos $m$ y $n$ que satisfacen la ecuación $m^2=n^2 +m+n+2018$ . Z K Y