Demuestra que para cualquier vector $a, b$ en el espacio euclidiano, \[|a \times b|^3 \leq \frac{3 \sqrt 3}{8} |a|^2 |b|^2 |a-b|^2\] Observación. Aquí $\times$ denota el producto vectorial.

Para $k = 1, 2, \ldots$ considera las $k$ - tuplas $(a_1, a_2, \ldots, a_k)$ de enteros positivos tales que \[a_1 + 2a_2 + \cdots + ka_k = 1979.\] Demuestra que hay tantas $k$ - tuplas con $k$ impar como las hay con $k$ par.

Demuestra que para ningún entero $a \geq 1, n \geq 1$ la suma \[1+\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+2a}+\cdots+\frac{1}{1+na}\] es un entero.

Halla los valores reales de $p$ para los cuales la ecuación \[\sqrt{2p+ 1 - x^2} +\sqrt{3x + p + 4} = \sqrt{x^2 + 9x+ 3p + 9}\] en $x$ tiene exactamente dos raíces reales distintas. ( $\sqrt t $ significa la raíz cuadrada positiva de $t$ ).

Sea $Q$ un cuadrado con lado de longitud $6$. Halla el entero más pequeño $n$ tal que en $Q$ existe un conjunto $S$ de $n$ puntos con la propiedad de que cualquier cuadrado con lado $1$ completamente contenido en $Q$ contiene en su interior al menos un punto de $S$.

Sea $n \geq 2$ un entero. Hallar la cardinalidad máxima de un conjunto $M$ de pares $(j, k)$ de enteros, $1 \leq j < k \leq n$, con la siguiente propiedad: Si $(j, k) \in M$, entonces $(k,m) \not \in M$ para cualquier $m.$

Sea $S$ un conjunto de $n^2 + 1$ intervalos cerrados ( $n$ un entero positivo). Demostrar que al menos una de las siguientes afirmaciones se cumple: (i) Existe un subconjunto $S'$ de $n+1$ intervalos de $S$ tal que la intersección de los intervalos en $S'$ no está vacía. (ii) Existe un subconjunto $S''$ de $n + 1$ intervalos de $S$ tal que dos intervalos cualesquiera de $S''$ son disjuntos.

El plano está dividido en cuadrados iguales por líneas paralelas; es decir, se da una red cuadrada. Sea $M$ un conjunto arbitrario de $n$ cuadrados de esta red. Demostrar que es posible elegir no menos de $n/4$ cuadrados de $M$ de tal manera que no haya dos de ellos que tengan un punto en común.

Consideramos un prisma que tiene como bases superior e inferior los pentágonos: $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$ y $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}B_{5}$. Cada uno de los lados de los dos pentágonos y los segmentos $A_{i}B_{j}$ con $i,j=1,\ldots,5$ está coloreado de rojo o azul. En cada triángulo que tiene todos los lados coloreados existe un lado rojo y un lado azul. Demostrar que los 10 lados de las dos bases están coloreados del mismo color.

Demostrar que una pirámide $A_1A_2 \ldots A_{2k+1}S$ con aristas laterales iguales y ángulos espaciales iguales entre las paredes laterales adyacentes es regular.