La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 13 de sep. de 2018, 2:54 p. m. • 3 Y Y por donotoven, Adventure10, Mango247 En un triángulo $ABC$ , rectángulo en $A$ e isósceles, sea $D$ un punto en el lado $AC$ ( $A \ne D \ne C$ ) y $E$ el punto en la extensión de $BA$ tal que el triángulo $ADE$ es isósceles. Sea $P$ el punto medio del segmento $BD$ , $R$ el punto medio del segmento $CE$ y $Q$ el punto de intersección de $ED$ y $BC$ . Demuestre que el cuadrilátero $ARQP$ es un cuadrado. Esta publicación ha sido editada 6 veces. Última edición por parmenides51, 8 de jun. de 2024, 11:28 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Yimin Ge 253 publicaciones Yimin Ge #1 h 11 de enero de 2006, 3:37 PM • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario más. Sea $A$ el conjunto de todos los polinomios $f(x)$ de grado $3$ con coeficientes enteros y coeficiente cúbico $1$, tales que para todo $f(x)$ existe un número primo $p$ que no divide a $2004$ y un número $q$ que es coprimo con $p$ y $2004$, de modo que $f(p)=2004$ y $f(q)=0$. Demuestre que existe un subconjunto infinito $B\subset A$, tal que las gráficas de las funciones de los elementos de $B$ son idénticas excepto por traslaciones.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 13 de sep. de 2018, 3:32 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Para cada entero positivo $n$, sea $S(n)$ la suma de los dígitos de $n$. Determine el entero positivo $a$ más pequeño tal que existen infinitos enteros positivos $n$ para los cuales se tiene $S(n) - S(n + a) = 2018$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. alchemyst_ 63 publicaciones alchemyst_ #1 h 6 de mayo de 2022, 7:14 a. m. • 9 Y Y por itslumi, HWenslawski, ImSh95, xookerxookerxooker, lian_the_noob12, Rounak_iitr, Ali_Vafa, ItsBesi, mxsail Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $CA \neq CB$ con circuncírculo $\omega$ y circuncentro $O$. Sean $t_A$ y $t_B$ las tangentes a $\omega$ en $A$ y $B$ respectivamente, las cuales se cortan en $X$. Sea $Y$ el pie de la perpendicular desde $O$ al segmento de recta $CX$. La recta que pasa por $C$ y es paralela a la recta $AB$ corta a $t_A$ en $Z$. Demuestre que la recta $YZ$ pasa por el punto medio del segmento de recta $AC$. Propuesto por Dominic Yeo, Reino Unido Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por alchemyst_, 6 de mayo de 2022, 7:22 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Pi-Infinity 141 publicaciones Pi-Infinity #1 h 23 de nov. de 2025, 5:33 a. m. Y por Dado un entero positivo $N$, decimos que un entero $m$ es bueno con respecto a $N$ si es posible encontrar un número primo $p$ tal que $(p \bmod N) = m$ — es decir, el resto cuando $p$ se divide por $N$ es $m$. Recuerde que $p$ es un número primo si tiene exactamente $2$ divisores distintos, $1$ y $p$. Por lo tanto, $1$ no es un número primo. Dado un entero positivo $N$, su tarea es encontrar la suma de todos los $m$ que son buenos con respecto a $N$, para $0 \leq m < N$. Para ayudarle con la tarea, también se le proporciona la descomposición en primos de $N$. Por ejemplo, para la entrada $N = 4 = 2^2$, $m = 1, 2, 3$ son buenos con respecto a $4$, pero $m = 0$ no lo es. Podemos encontrar $p = 5$ para $m = 1$, $p = 2$ para $m = 2$ y $p = 3$ para $m = 3$. Es imposible encontrar un primo divisible por $4$. Por lo tanto, la respuesta es $1 + 2 + 3 = 6$. Encuentre la suma requerida para las siguientes entradas: (a) $N = 12 = 2^2 \cdot 3$ (b) $N = 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ (c) $N = 18900 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 7$ Generalización Generalización del problema - Dado un entero positivo $N$, sea $M_N = \{0, 1, 2, \dots, N-1\}$ el conjunto de posibles residuos módulo $N$. Definimos un subconjunto de residuos $\mathcal{M}_N \subseteq M_N$ como el conjunto de todos los residuos $m$ tales que la progresión aritmética $A_{N, m} = \{kN + m \mid k \in \mathbb{Z}, k \geq 0\}$ contiene al menos un número primo $p \in \mathcal{P}$. Es decir: $$ \mathcal{M}_N = \{m \in M_N \mid \exists p \in \mathcal{P} \text{ tal que } p \equiv m \pmod N\} $$ La tarea es encontrar la suma de todos los elementos en el conjunto $\mathcal{M}_N$: $$ \text{Sum}(N) = \sum_{m \in \mathcal{M}_N} m $$ En lugar del conjunto de primos $\mathcal{P}$, sea $S$ un conjunto infinito arbitrario de enteros positivos. Defina $\mathcal{M}_{N, S}$ como el conjunto de residuos $m$ tales que la progresión aritmética $A_{N, m}$ contiene al menos un elemento de $S$. Encuentre la suma de los elementos en $\mathcal{M}_{N, S}$. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por Pi-Infinity, 23 de nov. de 2025, 9:02 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Pi-Infinity 141 publicaciones Pi-Infinity #1 h 23 de nov. de 2025, 5:26 a. m. Y por Llamamos a un arreglo $C = [C_1, C_2, \dots, C_M]$ de $M$ enteros bueno si $C_i - C_{i-1} \leq K$ para todo $1 < i \leq M$. Dado un arreglo de enteros $A$, se dice que $C$ es una subsecuencia de $A$ si es posible eliminar algunos elementos (posiblemente ninguno) de $A$ para formar $C$, sin cambiar el orden de los elementos restantes. Por ejemplo, las subsecuencias no vacías de $[1, 1, 3]$ son $[1], [1], [3], [1, 1], [1, 3], [1, 3]$ y $[1, 1, 3]$. Se le da un arreglo no decreciente $A$ de $N$ enteros y el parámetro $K$. Su tarea es encontrar el número de subsecuencias no vacías de $A$ que son buenas. Note que la misma subsecuencia puede aparecer múltiples veces en el arreglo $A$. Cada subsecuencia debe contarse tantas veces como aparezca en $A$. Por ejemplo, para la entrada $N = 3, K = 1, A = [1, 1, 3]$, hay $4$ subsecuencias no vacías buenas, las cuales son $[1], [1], [3]$ y $[1, 1]$. Encuentre el número de subsecuencias no vacías buenas para las siguientes entradas: (a) $N = 8, K = 0, A = [1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4]$ (b) $N = 8, K = 4, A = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]$ (c) $N = 15, K = 9, A = [1, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 10, 10, 10, 11, 12, 14]$ Generalización Generalización del problema- Sea $A = [A_1, A_2, \dots, A_N]$ una sucesión de enteros, y sea $R$ una relación binaria fija sobre los enteros $\mathbb{Z}$ (es decir, $R \subseteq \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$). Un arreglo $C = [C_1, C_2, \dots, C_M]$ de $M$ enteros se llama $R$-bueno si la relación $R$ se cumple entre cada par consecutivo de elementos: $(C_{i-1}, C_i) \in R$ para todo $1 < i \leq M$. (Para $M=1$, $C$ siempre es $R$-bueno). La tarea generalizada es: Dada la sucesión $A$ y la relación binaria $R$, encuentre el número total de subsecuencias no vacías de $A$ que son $R$-buenas. Contextualización al problema original En el problema original, la relación binaria $R$ está definida específicamente por la restricción $C_i - C_{i-1} \leq K$. $$(x, y) \in R \iff y - x \leq K$$ Esta generalización convierte la restricción de diferencia específica en una regla arbitraria que rige cómo deben relacionarse dos elementos sucesivos en la subsecuencia. Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por Pi-Infinity, 23 de nov. de 2025, 9:01 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bigant146 111 publicaciones bigant146 #1 h 20 de mar. de 2018, 3:10 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, mxsail En un torneo de fútbol participaron $20$ equipos, cada par de equipos jugó exactamente un partido. Por la victoria el equipo recibe $3$ puntos, por el empate $1$ punto, por la derrota no se otorgan puntos. El número total de puntos de todos los equipos en el torneo es $554$. Demuestre que existen $7$ equipos que tienen al menos un empate. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por bigant146, 20 de mar. de 2018, 3:10 p. m. Razón: -- Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bigant146 111 publicaciones bigant146 #1 h 20 de mar. de 2018, 3:08 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, mxsail En un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB < BC$, sea $BH_b$ su altura y sea $O$ el circuncentro. Una recta que pasa por $H_b$ y es paralela a $CO$ corta a $BO$ en $X$. Demuestre que $X$ y los puntos medios de $AB$ y $AC$ son colineales. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 13 de sep. de 2018, 3:34 a. m. • 3 Y Y por donotoven, Adventure10, Mango247 Determine los pares de números enteros positivos $m$ y $n$ que satisfacen la ecuación $m^2=n^2 +m+n+2018$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Pi-Infinity 141 publicaciones Pi-Infinity #1 h 23 de nov. de 2025, 5:40 a. m. Y por La puntuación de un arreglo $B = [B_1, B_2, \dots, B_M]$ de longitud $M$ se define de la siguiente manera: Comience con un arreglo $C = [C_1, C_2, \dots, C_M]$ de longitud $M$, con todos los valores $C_i$ inicializados en $0$. Una operación consiste en los siguientes pasos: (i) Elija $3$ enteros $L, R, v$ tales que $1 \leq L \leq R \leq M$ y $1 \leq v \leq 10^9$. (ii) Establezca $C_i = \max(C_i, v)$ para todo $L \leq i \leq R$. La puntuación de $B$ se define como el número mínimo de operaciones necesarias para hacer que $C$ sea igual a $B$. Por ejemplo, la puntuación del arreglo $[1, 2, 1]$ es $2$ porque necesitamos $2$ operaciones, de la siguiente manera: primero elija $L = 1, R = 3, v = 1$ para modificar $C$ de $[0, 0, 0]$ a $[1, 1, 1]$ y luego elija $L = 2, R = 2, v = 2$ para modificar $C$ a $[1, 2, 1]$. Se le da un arreglo $A$ de $N$ enteros. Su tarea es encontrar la suma de las puntuaciones de todos sus subarreglos; es decir, encuentre $$ \sum_{L=1}^{N} \sum_{R=L}^{N} \text{score}([A_L, A_{L+1}, A_{L+2}, \dots, A_R]) $$ Por ejemplo, para la entrada $N = 2, A = [1, 1]$, hay $3$ subarreglos $[1], [1]$ y $[1, 1]$, y cada uno tiene una puntuación de $1$. Por lo tanto, la respuesta es $1 + 1 + 1 = 3$. Encuentre la suma requerida para las siguientes entradas: (a) $N = 6, A = [1, 2, 3, 3, 2, 1]$ (b) $N = 10, A = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2]$ (c) $N = 20, A = [2, 3, 2, 4, 3, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 6, 4, 4]$ Generalización Generalización del problema- Sea $S$ una sucesión finita y ordenada de longitud $M$ que contiene enteros positivos, $S = [S_1, S_2, \dots, S_M]$. La puntuación de $S$, denotada como $\text{score}(S)$, se define como el número mínimo de actualizaciones de rango máximo requeridas para construir $S$ comenzando desde una sucesión de $M$ ceros. Una operación de actualización de rango máximo se define mediante tres parámetros $(L, R, v)$ tales que $1 \leq L \leq R \leq M$ y $v > 0$. La operación establece $C_i = \max(C_i, v)$ para todos los elementos $C_i$ dentro del rango $[L, R]$. La tarea generalizada es: Dado un arreglo inicial $A$ de longitud $N$, encuentre la suma de las puntuaciones de todos sus subarreglos continuos no vacíos. Es decir, calcule: $$ \sum_{1 \leq L \leq R \leq N} \text{score}([A_L, A_{L+1}, \dots, A_R]) $$ Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por Pi-Infinity, 23 de nov. de 2025, 9:04 a. m. Z K Y