Sea $M$ un conjunto de puntos en un plano con al menos dos elementos. Demuestre que si $M$ tiene dos ejes de simetría $g_1$ y $g_2$ que se intersecan en un ángulo $\alpha = q\pi$ , donde $q$ es irracional, entonces $M$ debe ser infinito.

Dados los números reales $x_1, x_2, \dots , x_n \ (n \geq 2)$ , con $x_i \geq \frac 1n \ (i = 1, 2, \dots, n)$ y con $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 = 1$ , determine si el producto $P = x_1x_2x_3 \cdots x_n$ tiene un valor máximo y/o mínimo y, en caso afirmativo, proporcione estos valores.

Sean $A$ y $E$ vértices opuestos de un octágono. Una rana comienza en el vértice $A$. Desde cualquier vértice excepto $E$, salta a uno de los dos vértices adyacentes. Cuando llega a $E$ se detiene. Sea $a_n$ el número de caminos distintos de exactamente $n$ saltos que terminan en $E$. Demuestre que:\n\[ a_{2n-1}=0, \quad a_{2n}={(2+\sqrt2)^{n-1} - (2-\sqrt2)^{n-1} \over\sqrt2}. \]

Para todo $x$ racional que satisface $0 \leq x < 1$, la función $f$ está definida por\n\[f(x)=\begin{cases}\frac{f(2x)}{4},&\mbox{para }0 \leq x < \frac 12,\\ \frac 34+ \frac{f(2x - 1)}{4}, & \mbox{para } \frac 12 \leq x < 1.\end{cases}\] Dado que $x = 0.b_1b_2b_3 \cdots $ es la representación binaria de $x$, encuentre, con demostración, $f(x)$.

Sea $n$ un entero positivo. Si $4^n + 2^n + 1$ es un número primo, demuestre que $n$ es una potencia de tres.

Si $p$ y $q$ son números naturales tales que \[ \frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ \ldots -\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}, \] demuestra que $p$ es divisible por $1979$.

Sean $a$ y $b$ enteros coprimos, mayores o iguales a $1$. Demuestra que todos los enteros $n$ mayores o iguales a $(a - 1)(b - 1)$ se pueden escribir de la forma: \[n = ua + vb, \qquad \text{con} (u, v) \in \mathbb N \times \mathbb N.\]

Considera el conjunto $E$ que consta de pares de enteros $(a, b)$ , con $a \geq 1$ y $b \geq 1$ , que satisfacen en el sistema decimal las siguientes propiedades: \n(i) $b$ se escribe con tres dígitos, como $\overline{\alpha_2\alpha_1\alpha_0}$ , $\alpha_2 \neq 0$ ; \n(ii) $a$ se escribe como $\overline{\beta_p \ldots \beta_1\beta_0}$ para algún $p$ ; \n(iii) $(a + b)^2$ se escribe como $\overline{\beta_p\ldots \beta_1 \beta_0 \alpha_2 \alpha_1 \alpha_0}.$ \nEncuentra los elementos de $E$.

Considera dos cuadriláteros $ABCD$ y $A'B'C'D'$ en un plano afín euclidiano tales que $AB = A'B', BC = B'C', CD = C'D'$ , y $DA = D'A'$. Demuestra que las siguientes dos afirmaciones son verdaderas: \n(a) Si las diagonales $BD$ y $AC$ son mutuamente perpendiculares, entonces las diagonales $B'D'$ y $A'C'$ también son mutuamente perpendiculares. \n(b) Si la bisectriz perpendicular de $BD$ interseca a $AC$ en $M$, y la de $B'D'$ interseca a $A'C'$ en $M'$, entonces $\frac{\overline{MA}}{\overline{MC}}=\frac{\overline{M'A'}}{\overline{M'C'}}$ (si $MC = 0$ entonces $M'C' = 0$ ).

Sea $E$ el conjunto de todas las aplicaciones biyectivas de $\mathbb R$ a $\mathbb R$ que satisfacen \[f(t) + f^{-1}(t) = 2t, \qquad \forall t \in \mathbb R,\] donde $f^{-1}$ es la aplicación inversa de $f$. Encuentra todos los elementos de $E$ que son aplicaciones monótonas.