Un polinomio $P(x)$ tiene grado como máximo $2k$, donde $k = 0, 1,2,\cdots$. Dado que para un entero $i$, la desigualdad $-k \le i \le k$ implica $|P(i)| \le 1$, prueba que para todos los números reales $x$, con $-k \le x \le k$, se cumple la siguiente desigualdad: \[|P(x)| < (2k + 1)\dbinom{2k}{k}\]

Una expedición al desierto acampa en la frontera del desierto, y tiene que proporcionar un litro de agua potable a otro miembro de la expedición, que reside a una distancia de $n$ días a pie desde el campamento, bajo las siguientes condiciones: $(i)$ Cada miembro de la expedición puede recoger como máximo $3$ litros de agua. $(ii)$ Cada miembro debe beber un litro de agua cada día que pase en el desierto. $(iii)$ Todos los miembros deben regresar al campamento. ¿Cuánta agua necesitan (al menos) para hacer eso?

Demuestra la siguiente afirmación: Si un polinomio $f(x)$ con coeficientes reales toma solo valores no negativos, entonces existe un entero positivo $n$ y polinomios $g_1(x), g_2(x),\cdots, g_n(x)$ tal que \[f(x) = g_1(x)^2 + g_2(x)^2 +\cdots+ g_n(x)^2\]

Encuentra todas las bases de logaritmos en las que un número real positivo puede ser igual a su logaritmo o demuestra que no existe ninguna.

Un tetraedro regular $A_1B_1C_1D_1$ está inscrito en un tetraedro regular $ABCD$, donde $A_1$ está en el plano $BCD$, $B_1$ en el plano $ACD$, etc. Demuestra que $A_1B_1 \ge\frac{ AB}{3}$.

Dada una secuencia $(a_n)$ , con $a_1 = 4$ y $a_{n+1} = a_n^2-2 (\forall n \in\mathbb{N})$ , pruebe que existe un triángulo con longitudes de lado $a_{n-1}, a_n, a_{n+1},$ y que su área es igual a un entero.

Note que en la fracción $\frac{16}{64}$ podemos realizar una simplificación como $\cancel{\frac{16}{64}}=\frac 14$ obteniendo una igualdad correcta. Encuentre todas las fracciones cuyos numeradores y denominadores son enteros positivos de dos dígitos para las cuales tal simplificación es correcta.

Demuestre que $\frac{20}{60} <\sin 20^{\circ} < \frac{21}{60}.$

Sean $n, k \ge 1$ números naturales. Encuentre el número $A(n, k)$ de soluciones enteras de la ecuación \[|x_1| + |x_2| +\cdots + |x_k| = n\]

Sea $R$ un conjunto de exactamente $6$ elementos. Un conjunto $F$ de subconjuntos de $R$ se llama una $S$-familia sobre $R$ si y sólo si satisface las siguientes tres condiciones: (i) Para ningunos dos conjuntos $X, Y$ en $F$ se cumple $X \subseteq Y$; (ii) Para cualesquiera tres conjuntos $X, Y,Z$ en $F$, $X \cup Y \cup Z \neq R,$ (iii) $\bigcup_{X \in F} X = R$