Sean $m$ enteros positivos $a_1, \dots , a_m$ dados. Demuestre que existen menos de $2^m$ enteros positivos $b_1, \dots , b_n$ tales que todas las sumas de $b_k$ distintos son distintas y todos los $a_i \ (i \leq m)$ ocurren entre ellos.

Sean dadas dos sucesiones de enteros $f_i(1), f_i(2), \cdots (i = 1, 2)$ que satisfacen: $(i) f_i(nm) = f_i(n)f_i(m)$ si $\gcd(n,m) = 1$ ; $(ii)$ para cada primo $P$ y todo $k = 2, 3, 4, \cdots$ , $f_i(P^k) = f_i(P)f_i(P^{k-1}) - P^2f(P^{k-2}).$ Además, para cada primo $P$ : $(iii) f_1(P) = 2P,$ $(iv) f_2(P) < 2P.$ Demuestre que $|f_2(n)| < f_1(n)$ para todo $n$ .

En el plano se da un círculo $C$ de radio unitario. Para cualquier recta $l$ , se define un número $s(l)$ de la siguiente manera: Si $l$ y $C$ se intersecan en dos puntos, $s(l)$ es su distancia; en caso contrario, $s(l) = 0$ . Sea $P$ un punto a distancia $r$ del centro de $C$ . Se define $M(r)$ como el valor máximo de la suma $s(m) + s(n)$ , donde $m$ y $n$ son rectas variables mutuamente ortogonales que pasan por $P$ . Determine los valores de $r$ para los cuales $M(r) > 2$ .

Dentro de un triángulo equilátero $ABC$ se construyen los puntos $P, Q$ y $R$ tales que \[\angle QAB = \angle PBA = 15^\circ,\ \angle RBC = \angle QCB = 20^\circ,\ \angle PCA = \angle RAC = 25^\circ.\] Determine los ángulos del triángulo $PQR.$

Sea $K$ el conjunto $\{a, b, c, d, e\}$ . $F$ es una colección de $16$ subconjuntos diferentes de $K$ , y se sabe que tres miembros cualesquiera de $F$ tienen al menos un elemento en común. Demuestre que los $16$ miembros de $F$ tienen exactamente un elemento en común.

Para cualquier entero positivo $n$, denotamos por $F(n)$ el número de formas en que $n$ puede ser expresado como la suma de tres enteros positivos diferentes, sin tener en cuenta el orden. Así, como $10 = 7+2+1 = 6+3+1 = 5+4+1 = 5+3+2$, tenemos $F(10) = 4$. Demostrar que $F(n)$ es par si $n \equiv 2$ o $4 \pmod 6$, pero impar si $n$ es divisible por $6$.

Determinar todos los números reales a para los cuales existen reales positivos $x_{1}, \ldots, x_{5}$ que satisfacen las relaciones $ \sum_{k=1}^{5} kx_{k}=a, \ \sum_{k=1}^{5} k^{3}x_{k}=a^{2},\ \sum_{k=1}^{5} k^{5}x_{k}=a^{3}.$

Sean $a, b, c$ las longitudes de los lados $BC, CA, AB$, respectivamente, de un triángulo $ABC$. Si $P$ es cualquier punto en la circunferencia del círculo inscrito en el triángulo, demostrar que $aPA^2+bPB^2+cPC^2$ es constante.

Sea un polinomio cuadrático $g(x) = ax^2 + bx + c$ dado y un entero $n \ge 1$. Demostrar que existe como máximo un polinomio $f(x)$ de grado $n$ tal que $f(g(x)) = g(f(x)).$

Demostrar la siguiente afirmación: No existe una pirámide con base cuadrada y caras laterales congruentes para la cual las medidas de todas las aristas, el área total y el volumen son enteros.