Dado el entero $n > 1$ y el número real $a > 0$ determinar el máximo de $\sum_{i=1}^{n-1} x_i x_{i+1}$ tomado sobre todos los números no negativos $x_i$ con suma $a.$

Determinar el valor máximo de $x^2 y^2 z^2 w$ para $\{x,y,z,w\}\in\mathbb{R}^{+} \cup\{0\}$ y $2x+xy+z+yzw=1$ .

Demostrar que existe un $k_0\in\mathbb{N}$ tal que para todo $k\in\mathbb{N},k>k_0$ , existe un número finito de líneas en el plano no todas paralelas a una de ellas, que dividen el plano exactamente en $k$ regiones. Encontrar $k_0$ .

Sea $M$ un conjunto y $A,B,C$ subconjuntos dados de $M$ . Encontrar una condición necesaria y suficiente para la existencia de un conjunto $X\subset M$ para el cual $(X\cup A)\backslash(X\cap B)=C$ . Describir todos estos conjuntos.

Demostrar que para todo $n\in\mathbb{N}$ , $n\sqrt{2}-\lfloor n\sqrt{2}\rfloor>\frac{1}{2n \sqrt{2}}$ y que para todo $\epsilon >0$ , existe un $n\in\mathbb{N}$ tal que $ n\sqrt{2}-\lfloor n\sqrt{2}\rfloor < \frac{1}{2n \sqrt{2}}+\epsilon$ .

Sean $a,b$ enteros coprimos. Demuestre que la ecuación $ax^2 + by^2 =z^3$ tiene un conjunto infinito de soluciones $(x,y,z)$ con $\{x,y,z\}\in\mathbb{Z}$ y cada par de $x,y$ mutuamente coprimos.

Considere las secuencias $(a_n), (b_n)$ definidas por \[a_1=3, \quad b_1=100 , \quad a_{n+1}=3^{a_n} , \quad b_{n+1}=100^{b_n} \] Encuentre el entero más pequeño $m$ para el cual $b_m > a_{100}.$

Una secuencia infinita creciente de enteros positivos $n_j (j = 1, 2, \ldots )$ tiene la propiedad de que para un cierto $c$ , \[\frac{1}{N}\sum_{n_j\le N} n_j \le c,\] para cada $N >0$ . Demuestre que existen finitamente muchas secuencias $m^{(i)}_j (i = 1, 2,\ldots, k)$ tales que \[\{n_1, n_2, \ldots \} =\bigcup_{i=1}^k\{m^{(i)}_1 ,m^{(i)}_2 ,\ldots\}\] y \[m^{(i)}_{j+1} > 2m^{(i)}_j (1 \le i \le k, j = 1, 2,\ldots).\]

Sea un número real $\lambda > 1$ dado y una secuencia $(n_k)$ de enteros positivos tal que $\frac{n_{k+1}}{n_k}> \lambda$ para $k = 1, 2,\ldots$ Demuestre que existe un entero positivo $c$ tal que ningún entero positivo $n$ puede representarse en más de $c$ formas de la forma $n = n_k + n_j$ o $n = n_r - n_s$.

Sea $ABC$ un triángulo arbitrario y sean $S_1, S_2,\cdots, S_7$ círculos que satisfacen las siguientes condiciones: $S_1$ es tangente a $CA$ y $AB$, $S_2$ es tangente a $S_1, AB$ y $BC,$ $S_3$ es tangente a $S_2, BC$ y $CA,$ .............................. $S_7$ es tangente a $S_6, CA$ y $AB.$ Demuestre que los círculos $S_1$ y $S_7$ coinciden.