Hay $1979$ triángulos equiláteros: $T_1,T_2, . . . ,T_{1979}$ . Un lado del triángulo $T_k$ es igual a $\frac{1}{k}$ , $k = 1,2, . . . ,1979$ . ¿En qué valores de un número $a$ se pueden colocar todos estos triángulos en el triángulo equilátero con longitud de lado $a$ para que no se intersecten (se permiten puntos de contacto)?

Sea $N$ el número de soluciones integrales de la ecuación \[x^2 - y^2 = z^3 - t^3\] que satisfacen la condición $0 \leq x, y, z, t \leq 10^6$ , y sea $M$ el número de soluciones integrales de la ecuación \[x^2 - y^2 = z^3 - t^3 + 1\] que satisfacen la condición $0 \leq x, y, z, t \leq 10^6$ . Demuestre que $N >M.$

Consideremos un punto $P$ en un plano $p$ y un punto $Q \not\in p$ . Determine todos los puntos $R$ de $p$ para los cuales \[ \frac{QP+PR}{QR} \] es máximo.

Un círculo $C$ con centro $O$ en la base $BC$ de un triángulo isósceles $ABC$ es tangente a los lados iguales $AB,AC$ . Si el punto $P$ en $AB$ y el punto $Q$ en $AC$ se seleccionan de tal manera que $PB \times CQ = (\frac{BC}{2})^2$ , demuestre que el segmento de línea $PQ$ es tangente al círculo $C$ , y demuestre lo contrario.

Hallar todos los números naturales $n$ para los cuales $2^8 +2^{11} +2^n$ es un cuadrado perfecto.

Dada una función $f$ tal que $f(x)\le x\forall x\in\mathbb{R}$ y $f(x+y)\le f(x)+f(y)\forall \{x,y\}\in\mathbb{R}$ , demuestre que $f(x)=x\forall x\in\mathbb{R}$ .

Desde el punto $P$ en el arco $BC$ de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ , $PX$ se construye perpendicular a $BC$ , $PY$ es perpendicular a $AC$ , y $PZ$ perpendicular a $AB$ (todo extendido si es necesario). Demuestre que $\frac{BC}{PX}=\frac{AC}{PY}+\frac{AB}{PZ}$ .

Sea la secuencia $\{a_i\}$ de $n$ reales positivos que denotan las longitudes de los lados de un $n$ - gon arbitrario. Sea $s=\sum_{i=1}^{n}{a_i}$ . Demuestre que $2\ge \sum_{i=1}^{n}{\frac{a_i}{s-a_i}}\ge \frac{n}{n-1}$ .

$T$ es un triángulo dado con vértices $P_1,P_2,P_3$ . Considere una subdivisión arbitraria de $T$ en un número finito de subtriángulos tal que ningún vértice de un subtriángulo se encuentre estrictamente entre dos vértices de otro subtriángulo. A cada vértice $V$ de los subtriángulos se le asigna un número $n(V)$ de acuerdo con las siguientes reglas: $(\text{i})$ Si $V$ = $P_i$ , entonces $n(V) = i$ . $(\text{ii})$ Si $V$ se encuentra en el lado $P_i P_j$ de $T$ , entonces $n(V) = i$ o $j$ . $(\text{iii})$ Si $V$ se encuentra dentro del triángulo $T$ , entonces $n(V)$ es cualquiera de los números $1,2,3$ . Demuestre que existe al menos un subtriángulo cuyos vértices están numerados $1, 2, 3$ .

Sean $\{a_i\}$ y $\{b_i\}$ dos sucesiones no decrecientes de $n$ números reales cada una, tales que $a_i\le a_{i+1}$ para cada $1\le i\le n-1$ , y $b_i\le b_{i+1}$ para cada $1\le i\le n-1$ , y $\sum_{k=1}^{m}{a_k}\ge \sum_{k=1}^{m}{b_k}$ donde $m\le n$ con igualdad para $m=n$ . Para una función convexa $f$ definida en los números reales, demuestre que $\sum_{k=1}^{n}{f(a_k)}\le \sum_{k=1}^{n}{f(b_k)}$ .