La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Yimin Ge 253 publicaciones Yimin Ge #1 h 11 de enero de 2006, 3:36 PM • 3 Y Y por Mathcollege, Adventure10, Mango247 El profesor le dice a Peter el producto de dos enteros positivos y a Sam su suma. Al principio, ninguno de ellos conoce el número del otro. Uno de ellos dice: "No puedes adivinar mi número". Entonces el otro dice: "Te equivocas, el número es 136". ¿Qué número les dijo el profesor a cada uno respectivamente? Dé razones para su afirmación. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bigant146 111 publicaciones bigant146 #1 h 20 de mar. de 2018, 3:19 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, mxsail $100$ puntos están marcados en el plano de tal manera que no hay tres puntos marcados que sean colineales. Uno de los puntos marcados es rojo y los otros son azules. Un triángulo con vértices en puntos azules se llama bueno si el punto rojo se encuentra en su interior. Determine si es posible que el número de triángulos buenos no sea menor que la mitad del número total de triángulos con vértices en puntos azules. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 29 de sep. de 2025, 2:25 p. m. • 1 Y Y por PreciseScorpion58 Wiske escribió un entero positivo de $2024$ dígitos en la pizarra. En cada ronda del juego, ella borra el último dígito del entero, sea este dígito $d$, y escribe la suma del número restante y $2d$ en lugar del número anterior. Ella repite los mismos pasos con el número recién obtenido. Después de un cierto número de rondas, Wiske descubrió que el nuevo número obtenido era el mismo que el número en la última ronda y detuvo el juego. ¿Cuál es el entero de $2024$ dígitos más pequeño con el que Wiske comenzó en este juego? (Kai Chen) Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bigant146 111 publicaciones bigant146 #1 h 20 de mar. de 2018, 3:15 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, mxsail Se dan $10$ números distintos. El profesor Odd ha calculado todos los productos posibles de $1$ , $3$ , $5$ , $7$ , $9$ números entre los números dados, y escribió la suma de todos estos productos. De manera similar, el profesor Even ha calculado todos los productos posibles de $2$ , $4$ , $6$ , $8$ , $10$ números entre los números dados, y escribió la suma de todos estos productos. Resulta que la suma de Odd es mayor que la suma de Even por $1$ . Demuestre que uno de los $10$ números dados es igual a $1$ . Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bigant146 111 publicaciones bigant146 #1 h 20 de mar. de 2018, 3:12 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, mxsail Un triángulo es cortado por $3$ cevianas desde sus $3$ vértices en $7$ piezas: $4$ triángulos y $3$ cuadriláteros. Determine si es posible que los $3$ cuadriláteros sean cíclicos. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por bigant146, 20 de mar. de 2018, 3:13 p. m. Razón: añadir $$ adicional Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Yimin Ge 253 publicaciones Yimin Ge #1 h 4 de enero de 2006, 4:40 PM • 1 Y Y por Adventure10 Sean $k$ y $k'$ círculos concéntricos con centro $O$ y radios $R$ y $R'$ donde se cumple $R<R'$. Una recta que pasa por $O$ corta a $k$ en $A$ y a $k'$ en $B$ donde $O$ está entre $A$ y $B$. Otra recta que pasa por $O$ y es distinta de $AB$ corta a $k$ en $E$ y a $k'$ en $F$ donde $E$ está entre $O$ y $F$. Demuestre que los circuncírculos de los triángulos $OAE$ y $OBF$, el círculo con diámetro $EF$ y el círculo con diámetro $AB$ son concurrentes. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bigant146 111 publicaciones bigant146 #1 h 20 de mar. de 2018, 3:02 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, mxsail Basil necesita resolver un ejercicio sobre la suma de dos fracciones $\dfrac{a}{b}$ y $\dfrac{c}{d}$ , donde $a$ , $b$ , $c$ , $d$ son números reales distintos de cero. Pero en lugar de sumar, realizó la multiplicación (correctamente). Resulta que la respuesta de Basil coincide con la respuesta correcta del ejercicio dado. Encuentre el valor de $\dfrac{b}{a} + \dfrac{d}{c}$ . Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bigant146 111 publicaciones bigant146 #1 h 20 de mar. de 2018, 3:07 p. m. • 4 Y Y por Happy2020, Adventure10, Mango247, mxsail Encuentre el menor entero positivo $n$ que satisface la siguiente afirmación: para cada par de enteros positivos $a$ y $b$ tales que $36$ divide a $a+b$ y $n$ divide a $ab$, se sigue que $36$ divide tanto a $a$ como a $b$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por bigant146, 20 de mar. de 2018, 3:07 p. m. Razón: 36 -> $36$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bigant146 111 publicaciones bigant146 #1 h 20 de mar. de 2018, 3:04 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, mxsail En Marte, un equipo de baloncesto consta de 6 jugadores. El entrenador del equipo de Marte puede seleccionar cualquier alineación de 6 jugadores entre 100 candidatos. El entrenador considera algunas alineaciones como apropiadas mientras que otras alineaciones no lo son (existe al menos una alineación apropiada). Un conjunto de 5 candidatos se denomina prospectivo si se puede añadir un candidato más para obtener una alineación apropiada. Un candidato se denomina universal si completa cada conjunto prospectivo de 5 candidatos (que no lo contenga a él) hasta formar una alineación apropiada. El entrenador ha seleccionado una alineación de 6 candidatos universales. Determine si se deduce que esta alineación es apropiada. Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por bigant146, 20 de mar. de 2018, 3:28 p. m. Razón: cursiva Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Yimin Ge 253 publicaciones Yimin Ge #1 h 8 de enero de 2006, 1:25 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $A_1,A_2,\ldots , A_n$ $(n\geq 3)$ conjuntos finitos de enteros positivos. Demuestre que \[ \displaystyle \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^n |A_i|\right) + \frac{1}{{{n}\choose{3}}}\sum_{1\leq i < j < k \leq n} |A_i \cap A_j \cap A_k| \geq \frac{2}{{{n}\choose{2}}}\sum_{1\leq i < j \leq n}|A_i \cap A_j| \] se cumple, donde $|E|$ es la cardinalidad del conjunto $E$ Z K Y