Pruebe que las ecuaciones funcionales \[f(x + y) = f(x) + f(y),\] \[ \text{and} \qquad f(x + y + xy) = f(x) + f(y) + f(xy) \quad (x, y \in \mathbb R)\] son equivalentes.

Sea $S$ un círculo unitario y $K$ un subconjunto de $S$ que consta de varios arcos cerrados. Sea $K$ satisface las siguientes propiedades: $(\text{i})$ $K$ contiene tres puntos $A,B,C$, que son los vértices de un triángulo acutángulo $(\text{ii})$ Para cada punto $A$ que pertenece a $K$ su punto diametralmente opuesto $A'$ y todos los puntos $B$ en un arco de longitud $\frac{1}{9}$ con centro $A'$ no pertenecen a $K$. Pruebe que hay tres puntos $E,F,G$ en $S$ que son vértices de un triángulo equilátero y que no pertenecen a $K$.

Denotemos el número de diferentes divisores primos del número $n$ por $\omega (n)$, donde $n$ es un entero mayor que $1$. Pruebe que existen infinitos números $n$ para los cuales $\omega (n)< \omega (n+1)<\omega (n+2)$ se cumple.

Por $h(n)$, donde $n$ es un entero mayor que $1$, denotemos el mayor divisor primo del número $n$. ¿Hay infinitos números $n$ para los cuales $h(n) < h(n+1)< h(n+2)$ se cumple?

Suponga que un triángulo cuyos lados son de longitudes enteras está inscrito en un círculo de diámetro $6.25$. Encuentre los lados del triángulo.

Determina todos los números reales a para los cuales existen reales positivos $x_{1}, \ldots, x_{5}$ que satisfacen las relaciones $ \sum_{k=1}^{5} kx_{k}=a,$ $ \sum_{k=1}^{5} k^{3}x_{k}=a^{2},$ $ \sum_{k=1}^{5} k^{5}x_{k}=a^{3}.$

Consideramos un punto $P$ en un plano $p$ y un punto $Q \not\in p$. Determina todos los puntos $R$ de $p$ para los cuales \[ \frac{QP+PR}{QR} \] es máximo.

Dos círculos en un plano se intersectan. $A$ es uno de los puntos de intersección. Comenzando simultáneamente desde $A$, dos puntos se mueven con velocidad constante, cada uno viajando a lo largo de su propio círculo en el mismo sentido. Los dos puntos regresan a $A$ simultáneamente después de una revolución. Demuestra que existe un punto fijo $P$ en el plano tal que los dos puntos están siempre equidistantes de $P$.

Consideramos un prisma que tiene como base superior e inferior los pentágonos: $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$ y $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}B_{5}$. Cada uno de los lados de los dos pentágonos y los segmentos $A_{i}B_{j}$ con $i,j=1,\ldots, 5$ está coloreado de rojo o azul. En cada triángulo que tiene todos sus lados coloreados existe un lado rojo y un lado azul. Demuestra que los 10 lados de las dos bases están coloreados del mismo color.

Si $p$ y $q$ son números naturales tales que \[ \frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ \ldots -\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}, \] demuestra que $p$ es divisible por $1979$.