La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Mr.C 539 publicaciones Mr.C #1 h 16 de abr. de 2021, 12:34 a. m. Y por Suponga que dos círculos $\alpha, \beta$ con centros $P,Q$ , respectivamente , se cortan ortogonalmente en $A$ , $B$ . Sea $CD$ un diámetro de $\beta$ que es exterior a $\alpha$ . Sean $E,F$ puntos en $\alpha$ tales que $CE,DF$ son tangentes a $\alpha$ , con $C,E$ en un lado de $PQ$ y $D,F$ en el otro lado de $PQ$ . Sea $S$ la intersección de $CF,AQ$ y $T$ la intersección de $DE,QB$ . Demuestre que $ST$ es paralelo a $CD$ y es tangente a $\alpha$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathisreal 922 publicaciones mathisreal #1 h 29 de dic. de 2025, 4:30 p. m. Y por Problema 1 En la noche anterior al torneo, siete amigos se reunieron en un restaurante. Después de la cena, cada uno de ellos escribió en su servilleta el número de personas en la mesa con las que habían hablado sobre las olimpiadas durante la comida. a) ¿Es posible que los números escritos en las siete servilletas fueran $6, 5, 5, 4, 3, 2, 1$ ? b) ¿Es posible que los números escritos en las siete servilletas fueran $6, 5, 5, 4, 3, 3, 2$ ? Problema 2 Un entero positivo $n$ se llama brasileño si es divisible por todos los enteros positivos menores o iguales a $\sqrt{n}$ . Encuentre todos los números brasileños. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por mathisreal, 29 de dic. de 2025, 4:33 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bgn 178 publicaciones bgn #1 h 20 de sep. de 2018, 2:01 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 El hexágono convexo $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ se encuentra en el interior del hexágono convexo $B_1B_2B_3B_4B_5B_6$ tal que $A_1A_2 \parallel B_1B_2$ , $A_2A_3 \parallel B_2B_3$ , ..., $A_6A_1 \parallel B_6B_1$ . Demuestre que las áreas de los hexágonos simples $A_1B_2A_3B_4A_5B_6$ y $B_1A_2B_3A_4B_5A_6$ son iguales. (Un hexágono simple es un hexágono que no se interseca a sí mismo). Propuesto por Hirad Aalipanah - Mahdi Etesamifard Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por bgn, 20 de sep. de 2018, 2:54 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. TeodoroNaCPLPeConesul 21 publicaciones TeodoroNaCPLPeConesul #1 h 28 de nov. de 2025, 8:30 a. m. Y por Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$ y con circunferencia circunscrita $\Gamma$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. La mediatriz del segmento $BC$ corta a la recta $AB$ en $Y$ y a la recta $AC$ en $X$. Sea $\omega$ la circunferencia que pasa por $B$, $X$ y $M$. Las circunferencias $\omega$ y $\Gamma$ se cortan en $Z$, con $Z \neq B$. Sea $N$ la intersección de la recta $AZ$ con la recta $XY$. Demuestre que $N$ es el punto medio de $XY$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. JuanDelPan 122 publicaciones JuanDelPan #1 h 30 de oct. de 2022, 3:38 p. m. • 1 Y Y por Mango247 Sea $ABC$ un triángulo, con $AB\neq AC$. Sean $O_1$ y $O_2$ los centros de los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ con diámetros $AB$ y $BC$, respectivamente. Se elige un punto $P$ en el segmento $BC$ tal que $AP$ interseca a $\omega_1$ en el punto $Q$, con $Q\neq A$. Demuestre que $O_1$, $O_2$ y $Q$ son colineales si y solo si $AP$ es la bisectriz del ángulo $\angle BAC$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bgn 178 publicaciones bgn #1 h 20 de sep. de 2018, 2:27 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Existen algunos segmentos en el plano tales que no hay dos de ellos que se intersecten entre sí (incluso en los puntos extremos). Decimos que el segmento $AB$ rompe al segmento $CD$ si la extensión de $AB$ corta a $CD$ en algún punto entre $C$ y $D$. [asy] /* Geogebra to Asymptote conversion, documentation at artofproblemsolving.com/Wiki go to User:Azjps/geogebra */ import graph; size(4cm); real labelscalefactor = 0.5; /* changes label-to-point distance */ pen dps = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dps); /* default pen style */ pen dotstyle = black; /* point style */ real xmin = -5.267474904743955, xmax = 11.572179069738377, ymin = -10.642621257034536, ymax = 4.543526642434019; /* image dimensions */ /* draw figures */ draw((-4,-2)--(1.08,-2.03), linewidth(2)); draw(shift((-2.1866176795507295,-2.0107089507113147))*scale(0.21166666666666667)*(expi(pi/4)--expi(5*pi/4)^^expi(3*pi/4)--expi(7*pi/4))); /* special point */ draw((-0.16981767035094117,3.225314210196242)--(-2.1866176795507295,-2.0107089507113147), linewidth(2) + linetype("4 4")); draw((-0.16981767035094117,3.225314210196242)--(-0.8194002739586808,1.538865607509914), linewidth(2)); label("$A$",(-1.2684397405642523,3.860690076971137),SE*labelscalefactor,fontsize(16)); label("$B$",(-1.9211395070170559,2.002590777612728),SE*labelscalefactor,fontsize(16)); label("$C$",(-4.971261820527631,-1.6571211388676117),SE*labelscalefactor,fontsize(16)); label("$D$",(1.08925640451367566,-1.6571211388676117),SE*labelscalefactor,fontsize(16)); /* dots and labels */ dot((-4,-2),dotstyle); dot((1.08,-2.03),dotstyle); dot((-0.16981767035094117,3.225314210196242),dotstyle); dot((-0.8194002739586808,1.538865607509914),dotstyle); clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); /* end of picture */ [/asy] $a)$ ¿Es posible que cada segmento, al ser extendido desde ambos extremos, rompa exactamente a otro segmento por cada lado? [asy] /* Geogebra to Asymptote conversion, documentation at artofproblemsolving.com/Wiki go to User:Azjps/geogebra */ import graph; size(4cm); real labelscalefactor = 0.5; /* changes label-to-point distance */ pen dps = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dps); /* default pen style */ pen dotstyle = black; /* point style */ real xmin = -6.8, xmax = 8.68, ymin = -10.32, ymax = 3.64; /* image dimensions */ /* draw figures */ draw((-2.56,1.24)--(-0.36,1.4), linewidth(2)); draw((-3.32,-2.68)--(-1.24,-3.08), linewidth(2)); draw(shift((-2.551651190956802,-2.8277593863544612))*scale(0.17638888888888887)*(expi(pi/4)--expi(5*pi/4)^^expi(3*pi/4)--expi(7*pi/4))); /* special point */ draw(shift((-0.8889576602618603,1.3615303519809556))*scale(0.17638888888888887)*(expi(pi/4)--expi(5*pi/4)^^expi(3*pi/4)--expi(7*pi/4))); /* special point */ draw((-2.551651190956802,-2.8277593863544612)--(-0.8889576602618603,1.3615303519809556), linewidth(2) + linetype("4 4")); draw((-1.4097008194020806,0.049476186483185636)--(-1.8514772275312024,-1.0636149148218605), linewidth(2)); /* dots and labels */ dot((-2.56,1.24),dotstyle); dot((-0.36,1.4),dotstyle); dot((-3.32,-2.68),dotstyle); dot((-1.24,-3.08),dotstyle); dot((-1.4097008194020806,0.049476186483185636),dotstyle); dot((-1.8514772275312024,-1.0636149148218605),dotstyle); clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); /* end of picture */ [/asy] $b)$ Un segmento se llama rodeado si, desde ambos lados del mismo, hay exactamente un segmento que lo rompe. (p. ej., el segmento $AB$ en la figura). ¿Es posible que todos los segmentos estén rodeados? [asy] /* Geogebra to Asymptote conversion, documentation at artofproblemsolving.com/Wiki go to User:Azjps/geogebra */ import graph; size(7cm); real labelscalefactor = 0.5; /* changes label-to-point distance */ pen dps = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dps); /* default pen style */ pen dotstyle = black; /* point style */ real xmin = -10.70976151557872, xmax = 18.64292748469251, ymin = -16.354300717041443, ymax = 9.136192362141452; /* image dimensions */ /* draw figures */ draw((1.0313140845297686,0.748205038977829)--(-1.3,-4), linewidth(2.8)); draw((-5.780195085389632,-2.13088646583346)--(-2.549994860479401,-2.13088646583346), linewidth(2.8)); draw((4.121070821400425,-3.816208322308361)--(1.78,-1.88), linewidth(2.8)); draw(shift((-0.38228674372374466,-2.13088646583346))*scale(0.21166666666666667)*(expi(pi/4)--expi(5*pi/4)^^expi(3*pi/4)--expi(7*pi/4))); /* special point */ draw((-2.549994860479401,-2.13088646583346)--(-0.38228674372374466,-2.13088646583346), linewidth(2.8) + linetype("4 4")); draw(shift((0.32979226045261084,-0.6805897691262632))*scale(0.21166666666666667)*(expi(pi/4)--expi(5*pi/4)^^expi(3*pi/4)--expi(7*pi/4))); /* special point */ draw((4.121070821400425,-3.816208322308361)--(0.32979226045261084,-0.6805897691262632), linewidth(2.8) + linetype("4 4")); draw((-3.6313140845297687,-8.74820503897783)--(3.600422205681574,5.980726991931396), linewidth(2.8) + linetype("2 2")); label("$A$",(-0.397698406272906,1.754593418658662),SE*labelscalefactor,fontsize(16)); label("$B$",(-2.6377720405041316,-3.266261278756151),SE*labelscalefactor,fontsize(16)); /* dots and labels */ dot((1.0313140845297686,0.748205038977829),linewidth(6pt) + dotstyle); dot((-1.3,-4),linewidth(6pt) + dotstyle); dot((-5.780195085389632,-2.13088646583346),linewidth(6pt) + dotstyle); dot((-2.549994860479401,-2.13088646583346),linewidth(6pt) + dotstyle); dot((4.121070821400425,-3.816208322308361),linewidth(6pt) + dotstyle); dot((1.78,-1.88),linewidth(6pt) + dotstyle); clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); /* end of picture */ [/asy] Propuesto por Morteza Saghafian Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por bgn, 20 de sep. de 2018, 2:38 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a_507_bc 679 publicaciones a_507_bc #1 h 16 de feb. de 2023, 6:23 a. m. • 1 Y Y por ImSh95 Se dan $50$ conjuntos distintos de enteros positivos, cada uno de tamaño $30$, tales que cualesquiera $30$ de ellos tienen un elemento en común. Demuestre que todos ellos tienen un elemento en común. Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por a_507_bc, 16 de feb. de 2023, 7:21 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bgn 178 publicaciones bgn #1 h 20 de sep. de 2018, 2:03 a. m. • 2 Y Y por pankajsinha, Adventure10 En la figura dada, $ABCD$ es un paralelogramo. Sabemos que $\angle D = 60^\circ$ , $AD = 2$ y $AB = \sqrt3 + 1$ . El punto $M$ es el punto medio de $AD$ . El segmento $CK$ es la bisectriz del ángulo $C$ . Encuentre el ángulo $CKB$ . Propuesto por Mahdi Etesamifard Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por bgn, 20 de sep. de 2018, 2:54 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. TeodoroNaCPLPeConesul 21 publicaciones TeodoroNaCPLPeConesul #1 h 28 de nov. de 2025, 8:48 a. m. Y por Una sucesión estrictamente creciente de enteros $(a_n)_{n \ge 1}$ se llama sertaneja si, para todo $n$, \[ a_{n+1} \le a_n + 3. \] Suponga que en alguna sucesión sertaneja no existen índices $i, j, k, l$, distintos entre sí, tales que \[ a_i + a_j + a_k = a_l. \] Demuestre que, cuando cada término de esta sucesión se divide por $3$, existe algún resto (0, 1 o 2) que no aparece. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathmanman 1444 publicaciones mathmanman #1 h 5 de mayo de 2007, 7:11 AM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un rectángulo de $2003\times 2004$ consiste en cuadrados unitarios. Consideramos rombos formados por cuatro diagonales de cuadrados unitarios. ¿Cuál es el número máximo de tales rombos que pueden disponerse en este rectángulo de modo que no haya dos de ellos que tengan puntos en común, excepto los vértices? Propuesto por A. Golovanov Z K Y