Sea $k>1$ un entero positivo y $n>2018$ un entero positivo impar. Los números racionales no nulos $x_1,x_2,\ldots,x_n$ no son todos iguales y: $$x_1+\frac{k}{x_2}=x_2+\frac{k}{x_3}=x_3+\frac{k}{x_4}=\ldots=x_{n-1}+\frac{k}{x_n}=x_n+\frac{k}{x_1}$$ Encuentra el valor mínimo de $k$, tal que las relaciones anteriores se cumplen.

Encuentra el número máximo $n$ de números de tres dígitos tales que: 1. Cada uno tiene una suma de dígitos de $9$. 2. Ninguno contiene el dígito $0$. 3. Cada $2$ tienen diferentes dígitos de unidades. 4. Cada $2$ tienen diferentes dígitos decimales. 5. Cada $2$ tienen diferentes dígitos de centenas.

Encuentra todos los enteros $m$ y $n$ tales que la quinta potencia de $m$ menos la quinta potencia de $n$ es igual a $16mn$.

Considera un triángulo $ABC$. Sea $S$ una circunferencia en el interior del triángulo que es tangente a los lados $BC$, $CA$, $AB$ en los puntos $D$, $E$, $F$ respectivamente. En el exterior del triángulo dibujamos tres circunferencias $S_A$, $S_B$, $S_C$. La circunferencia $S_A$ es tangente a $BC$ en $L$ y a la prolongación de las líneas $AB$, $AC$ en los puntos $M$, $N$ respectivamente. La circunferencia $S_B$ es tangente a $AC$ en $E$ y a la prolongación de la línea $BC$ en $P$. La circunferencia $S_C$ es tangente a $AB$ en $F$ y a la prolongación de la línea $BC$ en $Q$. Demuestra que las líneas $EP$, $FQ$ y $AL$ se encuentran en un punto de la circunferencia $S$.

Encuentra todos los números de $5$ dígitos no nulos tales que, al eliminar consecutivamente el dígito de la izquierda, en cada paso, obtenemos un divisor del número anterior.

Encuentra todos los pares $(x,y)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación $x^2-xy+2x-3y=2013$.

Un evento ocurre hace muchos años. Ocurre periódicamente en $x$ años consecutivos, luego hay un descanso de $y$ años consecutivos. Sabemos que el evento ocurrió en $1964$, $1986$, $1996$, $2008$ y no ocurrió en $1976$, $1993$, $2006$, $2013$. ¿Cuál es el primer año en que el evento ocurrirá nuevamente?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. La circunferencia con diámetro $AB$ interseca los lados $AC$ y $BC$ en $E$ y $F$ respectivamente. Las líneas tangentes a la circunferencia en los puntos $E$ y $F$ se encuentran en $P$. Demuestra que $P$ pertenece a la altura desde $C$ del triángulo $ABC$.

Si Xiluva pone dos naranjas en cada canasta, sobran cuatro naranjas. Si pone cinco naranjas en cada canasta, sobra una canasta. ¿Cuántas naranjas y canastas tiene Xiluva?

Sea $\Pi$ el conjunto de paralelepípedos rectangulares que tienen al menos una arista de longitud entera. Si un paralelepípedo rectangular $P_0$ puede ser descompuesto en paralelepípedos $P_1, P_2, ..., P_N \in \Pi$, demuestre que $P_0 \in \Pi$.