Se nos da un cuadrilátero convexo $ABCD$ cuyos ángulos no son rectos. Asuma que hay puntos $P, Q, R, S$ en sus lados $AB, BC, CD, DA$ , respectivamente, tales que $PS \parallel BD$ , $SQ \perp BC$ , $PR \perp CD$ . Además, asuma que las líneas $PR, SQ$ , y $AC$ son concurrentes. Demuestre que los puntos $P, Q, R, S$ son concíclicos.

Sea $c \geq 4$ un entero par. En alguna liga de fútbol, cada equipo tiene un uniforme de local y un uniforme de visitante. Cada uniforme de local está coloreado en dos colores diferentes, y cada uniforme de visitante está coloreado en un color. El uniforme de visitante de un equipo no puede estar coloreado en uno de los colores del uniforme de local. Hay como máximo $c$ colores distintos en todos los uniformes. Si dos equipos tienen los mismos dos colores en sus uniformes de local, entonces tienen diferentes colores en sus uniformes de visitante. Decimos que un par de uniformes están en conflicto si algún color aparece en ambos. Suponga que para cada equipo $X$ en la liga, no hay ningún equipo $Y$ en la liga tal que el uniforme de local de $X$ esté en conflicto con ambos uniformes de $Y$ . Determine el número máximo posible de equipos en la liga.

Encuentre el entero más pequeño $b$ con la siguiente propiedad: Para cada forma de colorear exactamente $b$ cuadrados de un tablero de ajedrez de $8 \times 8$ de verde, se pueden colocar $7$ alfiles en $7$ cuadrados verdes de modo que no haya dos alfiles que se ataquen entre sí.

Si $a, b, c, d>0$ y $abcd=1$ , demuestre que $$\frac{ab+1}{a+1}+\frac{bc+1}{b+1}+\frac{cd+1}{c+1}+\frac{da+1}{d+1} \geq 4. $$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?

(a) Una función $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ se llama $\mathbb{Z}$ - buena si $f(a^2+b)=f(b^2+a)$ para todos los $a, b \in \mathbb{Z}$ . ¿Cuál es el mayor número posible de valores distintos que pueden ocurrir entre $f(1), \ldots, f(2023)$ , donde $f$ es una función $\mathbb{Z}$ - buena? (b) Una función $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ se llama $\mathbb{N}$ - buena si $f(a^2+b)=f(b^2+a)$ para todos los $a, b \in \mathbb{N}$ . ¿Cuál es el mayor número posible de valores distintos que pueden ocurrir entre $f(1), \ldots, f(2023)$ , donde $f$ es una función $\mathbb{N}$ - buena?

Sean $n, m$ enteros positivos. Un conjunto $S$ de enteros positivos se llama $(n, m)$ - bueno, si: (1) $m \in S$ ; (2) para todo $a\in S$ , todos los divisores de $a$ también están en $S$ ; (3) para todos los $a, b \in S$ distintos , $a^n+b^n \in S$ . ¿Para qué $(n, m)$ , el único conjunto $(n, m)$ - bueno es $\mathbb{N}$ ?

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ , y el incírculo toca a $BC$ en $D$ . Los puntos $E, F$ son tales que $BE \parallel AI \parallel CF$ y $\angle BEI=\angle CFI=90^{\circ}$ . Si $DE, DF$ se encuentran con el incírculo en $E', F'$ , demuestre que $E'F' \perp AI$ .

Encuentra todos los enteros positivos $n \geq 3$ , para los cuales es posible dibujar $n$ cuerdas en un círculo, con sus $2n$ puntos finales siendo distintos por pares, tales que cada cuerda interseca exactamente $k$ otras para: (a) $k=n-2$ , (b) $k=n-3$ .

Para cada par $(\alpha, \beta)$ de números reales no negativos con $\alpha+\beta \geq 2$ , determine todas las funciones $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , tales que $$f(x)f(y) \leq f(xy)+\alpha x+\beta y$$ para todos los reales $x, y$ .

Sea $\triangle ABC$ y $A'$ , $B'$ , $C'$ los simétricos del vértice sobre los lados opuestos. La intersección de las circunferencias circunscritas de $\triangle ABB'$ y $\triangle ACC'$ es $A_1$. $B_1$ y $C_1$ se definen de manera similar. Demuestra que las líneas $AA_1$ , $BB_1$ y $CC_1$ son concurrentes.