Se dan números reales $a,b,c,d$. Resuelve el sistema de ecuaciones (incógnitas $x,y,z,u)$ \[ x^{2}-yz-zu-yu=a\] \[ y^{2}-zu-ux-xz=b\] \[ z^{2}-ux-xy-yu=c\] \[ u^{2}-xy-yz-zx=d\]

En un estanque hay $n \geq 3$ piedras dispuestas en un círculo. Una princesa quiere etiquetar las piedras con los números $1, 2, \dots, n$ en algún orden y luego colocar algunos sapos en las piedras. Una vez que todos los sapos están ubicados, comienzan a saltar en el sentido de las agujas del reloj, de acuerdo con la siguiente regla: cuando un sapo llega a la piedra etiquetada con el número $k$ , espera $k$ minutos y luego salta a la piedra adyacente. ¿Cuál es el mayor número de sapos para el cual la princesa puede etiquetar las piedras y colocar los sapos de tal manera que en ningún momento dos sapos ocupen una piedra al mismo tiempo? Nota: Se considera que una piedra está ocupada por dos sapos al mismo tiempo solo si hay dos sapos que están en la piedra durante al menos un minuto.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$ y $\Gamma$ la circunferencia que pasa por $A,\ B$ y $C$ . Sea $D$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$ y $\ell$ la tangente por $D$ a $\Gamma$ . Sean $P, Q$ y $R$ los puntos de intersección de $B C$ con $\ell$ , de $A P$ con $\Gamma$ tal que $Q \neq A$ y de $Q D$ con la $A$ - altura del triángulo $ABC$ , respectivamente. Definir $S$ como la intersección de $AB$ con $\ell$ y $T$ como la intersección de $A C$ con $\ell$ . Demostrar que $S$ y $T$ se encuentran en la circunferencia que pasa por $A, Q$ y $R$ .

Un número de cuatro dígitos $n=\overline{a b c d}$ , donde $a, b, c$ y $d$ son dígitos, con $a \neq 0$ , se dice que es guanaco si el producto $\overline{a b} \times \overline{c d}$ es un divisor positivo de $n$ . Encuentra todos los números guanaco.

Sean $a,\ b$ y $c$ números reales positivos tales que $a b+b c+c a=1$ . Demostrar que $$\frac{a^3}{a^2+3 b^2+3 a b+2 b c}+\frac{b^3}{b^2+3 c^2+3 b c+2 c a}+\frac{c^3}{c^2+3 a^2+3 c a+2 a b}>\frac{1}{6\left(a^2+b^2+c^2\right)^2} .$$

Octavio escribe un entero $n \geq 1$ en una pizarra y luego comienza un proceso en el que, en cada paso, borra el entero $k$ escrito en la pizarra y lo reemplaza con uno de los siguientes números: $$3k-1, \quad 2k+1, \quad \frac{k}{2}.$$ siempre que el resultado sea un entero. Demostrar que para cualquier entero $n \geq 1$ , Octavio puede escribir en la pizarra el número $3^{2023}$ después de un número finito de pasos.

Una coloración del conjunto de los enteros mayores o iguales a $1$ , debe hacerse de acuerdo con la siguiente regla: Cada número se colorea de azul o rojo, de modo que la suma de dos números cualesquiera (no necesariamente diferentes) del mismo color es azul. Determinar todas las posibles coloraciones del conjunto de los enteros mayores o iguales a $1$ que siguen esta regla.

Sean $A, B \in \mathbb{N}$ . Considere una sucesión $x_1, x_2, \ldots$ tal que para todo $n\geq 2$ , $$x_{n+1}=A \cdot \gcd(x_n, x_{n-1})+B. $$ Demuestre que la sucesión alcanza solo finitamente muchos valores distintos.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ , para los cuales existen enteros positivos $a>b$ , que satisfacen $n=\frac{4ab}{a-b}$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$ . Sea $J$ el centro del $A$ - ex círculo de $ABC$ . Sea $D$ la proyección de $J$ en la línea $BC$ . Las bisectrices internas de los ángulos $BDJ$ y $JDC$ intersectan las líneas $BJ$ y $JC$ en $X$ e $Y$ , respectivamente. Los segmentos $XY$ y $JD$ se intersecan en $P$ . Sea $Q$ la proyección de $A$ en la línea $BC$ . Demuestre que la bisectriz interna del ángulo $QAP$ es perpendicular a la línea $XY$ .