La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 25 de abr. de 2010, 4:36 a. m. • 6 Y Y por Ankoganit, Amir Hossein, Adventure10, Mango247, Rounak_iitr y otro usuario más. Dado un polinomio $f(x)$ con coeficientes racionales, de grado $d \ge 2$, definimos la sucesión de conjuntos $f^0(\mathbb{Q}), f^1(\mathbb{Q}), \ldots$ como $f^0(\mathbb{Q})=\mathbb{Q}$, $f^{n+1}(\mathbb{Q})=f(f^{n}(\mathbb{Q}))$ para $n\ge 0$. (Dado un conjunto $S$, escribimos $f(S)$ para el conjunto $\{f(x)\mid x\in S\}$). Sea $f^{\omega}(\mathbb{Q})=\bigcap_{n=0}^{\infty} f^n(\mathbb{Q})$ el conjunto de números que están en todos los conjuntos $f^n(\mathbb{Q})$, $n\geq 0$. Demuestre que $f^{\omega}(\mathbb{Q})$ es un conjunto finito. Dan Schwarz, Rumania Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. JuanDelPan 122 publicaciones JuanDelPan #1 h 30 de oct. de 2022, 3:38 p. m. • 1 Y Y por Mango247 Sea $ABC$ un triángulo, con $AB\neq AC$. Sean $O_1$ y $O_2$ los centros de los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ con diámetros $AB$ y $BC$, respectivamente. Se elige un punto $P$ en el segmento $BC$ tal que $AP$ interseca a $\omega_1$ en el punto $Q$, con $Q\neq A$. Demuestre que $O_1$, $O_2$ y $Q$ son colineales si y solo si $AP$ es la bisectriz del ángulo $\angle BAC$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 25 de abr. de 2010, 4:12 a. m. • 3 Y Y por anantmudgal09, Adventure10, Mango247 Determine si existe un polinomio $f(x_1, x_2)$ de dos variables, con coeficientes enteros, y dos puntos $A=(a_1, a_2)$ y $B=(b_1, b_2)$ en el plano, que satisfagan las siguientes condiciones: (i) $A$ es un punto entero (es decir, $a_1$ y $a_2$ son enteros); (ii) $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|=2010$ ; (iii) $f(n_1, n_2)>f(a_1, a_2)$ para todo punto entero $(n_1, n_2)$ en el plano distinto de $A$ ; (iv) $f(x_1, x_2)>f(b_1, b_2)$ para todo punto entero $(x_1, x_2)$ en el plano distinto de $B$ . Massimo Gobbino, Italia Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bgn 178 publicaciones bgn #1 h 20 de sep. de 2018, 2:01 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 El hexágono convexo $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ se encuentra en el interior del hexágono convexo $B_1B_2B_3B_4B_5B_6$ tal que $A_1A_2 \parallel B_1B_2$ , $A_2A_3 \parallel B_2B_3$ , ..., $A_6A_1 \parallel B_6B_1$ . Demuestre que las áreas de los hexágonos simples $A_1B_2A_3B_4A_5B_6$ y $B_1A_2B_3A_4B_5A_6$ son iguales. (Un hexágono simple es un hexágono que no se interseca a sí mismo). Propuesto por Hirad Aalipanah - Mahdi Etesamifard Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por bgn, 20 de sep. de 2018, 2:54 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a_507_bc 679 publicaciones a_507_bc #1 h 16 de feb. de 2023, 6:23 a. m. • 1 Y Y por ImSh95 Se dan $50$ conjuntos distintos de enteros positivos, cada uno de tamaño $30$, tales que cualesquiera $30$ de ellos tienen un elemento en común. Demuestre que todos ellos tienen un elemento en común. Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por a_507_bc, 16 de feb. de 2023, 7:21 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 23 de mayo de 2022, 5:23 PM Y por Consideramos una tabla de $n \times n$, con $n\ge1$. Aya desea colorear $k$ celdas de esta tabla de modo que exista una forma única de colocar $n$ fichas en los cuadrados coloreados sin que dos fichas estén en la misma fila o columna. ¿Cuál es el valor máximo de $k$ para el cual el deseo de Aya es alcanzable? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a_507_bc 679 publicaciones a_507_bc #1 h 16 de feb. de 2023, 6:18 a. m. • 1 Y Y por cubres Dado un entero positivo $n$. Hay $2n$ torres mutuamente no atacantes colocadas en una cuadrícula de $2n \times 2n$. La cuadrícula está dividida en dos partes conectadas, simétricas con respecto al centro de la cuadrícula. ¿Cuál es el mayor número de torres que podrían estar en la misma parte? Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por a_507_bc, 16 de feb. de 2023, 7:33 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 25 de abr. de 2010, 4:02 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, Funcshun840 Sea $A_1A_2A_3A_4$ un cuadrilátero sin ningún par de lados paralelos. Para cada $i=1, 2, 3, 4$, defina $\omega_i$ como el círculo que toca al cuadrilátero externamente y que es tangente a las rectas $A_{i-1}A_i, A_iA_{i+1}$ y $A_{i+1}A_{i+2}$ (los índices se consideran módulo $4$, por lo que $A_0=A_4, A_5=A_1$ y $A_6=A_2$). Sea $T_i$ el punto de tangencia de $\omega_i$ con el lado $A_iA_{i+1}$. Demuestre que las rectas $A_1A_2, A_3A_4$ y $T_2T_4$ son concurrentes si y solo si las rectas $A_2A_3, A_4A_1$ y $T_1T_3$ son concurrentes. Pavel Kozhevnikov, Rusia Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 6 de sep. de 2018, 2:35 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $a, b$ y $c$ enteros positivos tales que $a^2 + b^2 + 1 = c^2$. Demuestre que $[a/2] + [c / 2]$ es par. Nota: $[x]$ es la parte entera de $x$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathisreal 922 publicaciones mathisreal #1 h 28 de feb. de 2018, 4:20 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$, sea $L$ el punto medio del arco $BC$ (el punto $A$ no está en este arco) de la circunferencia circunscrita $w$ ($ABC$). Sea $E$ un punto en $AC$ tal que $AE = \frac{AB + AC}{2}$, la recta $EL$ corta a $w$ en $P$. Si $M$ y $N$ son los puntos medios de $AB$ y $BC$, respectivamente, demuestre que $AL$, $BP$ y $MN$ son concurrentes. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por mathisreal, 28 de feb. de 2018, 4:21 p. m. Z K Y