Una disposición de fichas en los cuadrados de una tabla de $n\times n$ se llama dispersa si cada cuadrado de $2\times 2$ contiene como máximo 3 fichas. Serge colocó fichas en algunos cuadrados de la tabla (una en un cuadrado) y obtuvo una disposición dispersa. Sin embargo, notó que si alguna ficha se mueve a cualquier cuadrado libre, la disposición ya no es dispersa. ¿Para qué $n$ es esto posible? Propuesto por S. Berlov

$M$ es el punto medio de la base $BC$ en un trapecio $ABCD$. Se elige un punto $P$ en la base $AD$. La línea $PM$ se encuentra con la línea $CD$ en un punto $Q$ tal que $C$ se encuentra entre $Q$ y $D$. La perpendicular a las bases trazada a través de $P$ se encuentra con la línea $BQ$ en $K$. Demuestre que $ \angle QBC = \angle KDA$. Propuesto por S. Berlov

Un mago le pidió a un espectador que pensara en un número de tres dígitos $ \overline{abc}$ y luego que le dijera la suma de los números $ \overline{acb}$, $ \overline{bac}$, $ \overline{bca}$, $ \overline{cab}$ y $ \overline{cba}$. Afirma que cuando conoce esta suma puede determinar el número original. ¿Es eso cierto?

Cada uno de los subconjuntos $A_1$, $A_2$, $ \dots,$ $A_n$ de un conjunto $X$ de 2009 elementos contiene al menos 4 elementos. La intersección de cada dos de estos subconjuntos contiene como máximo 2 elementos. Demuestre que en $X$ hay un subconjunto $B$ de 24 elementos que no contiene ninguno de los conjuntos $A_1$, $A_2$, $ \dots,$ $A_n$.

En un cuadrilátero cíclico $ABCD$ los lados $AB$ y $AD$ son iguales, $CD>AB+BC$. Demuestre que $ \angle ABC>120^\circ$.

Sea $p$ un entero positivo, $p>1.$ Encuentre el número de matrices de $m\times n$ con entradas en el conjunto $\left\{ 1,2,\dots,p\right\} $ y tal que la suma de los elementos en cada fila y cada columna no sea divisible por $p.$

$P(x)$ es un trinomio cuadrático. ¿Qué número máximo de términos iguales a la suma de los dos términos precedentes puede ocurrir en la secuencia $P(1)$, $P(2)$, $P(3)$, $ \dots ?$ Propuesto por A. Golovanov

Todos los cuadrados de una tabla de $20\times 20$ están vacíos. Misha* y Sasha** a su vez colocan fichas en cuadrados libres (Misha* comienza). El jugador después de cuyo movimiento hay cuatro fichas en la intersección de dos filas y dos columnas gana. ¿Cuál de los jugadores tiene una estrategia ganadora? Propuesto por A. Golovanov

Sean $A'\in(BC),$ $B'\in(CA),C'\in(AB)$ los puntos de tangencia de los excírculos del triángulo $\triangle ABC$ con los lados de $\triangle ABC.$ Sea $R'$ el circunradio del triángulo $\triangle A'B'C'.$ Demuestre que \[ R'=\frac{1}{2r}\sqrt{2R\left(2R-h_{a}\right)\left(2R-h_{b}\right)\left(2R-h_{c}\right)}\] donde, como es habitual, $R$ es el circunradio de $\triangle ABC,$ r es el inradio de $\triangle ABC,$ y $h_{a},h_{b},h_{c}$ son las longitudes de las alturas de $\triangle ABC.$

Dados los números reales positivos $a_{1},a_{2},\dots,a_{n},$ tales que $n>2$ y $a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}=1,$ demuestre que la desigualdad \[ \frac{a_{2}\cdot a_{3}\cdot\dots\cdot a_{n}}{a_{1}+n-2}+\frac{a_{1}\cdot a_{3}\cdot\dots\cdot a_{n}}{a_{2}+n-2}+\dots+\frac{a_{1}\cdot a_{2}\cdot\dots\cdot a_{n-1}}{a_{n}+n-2}\leq\frac{1}{\left(n-1\right)^{2}}\] se cumple.