Un estudiante está jugando en la computadora. La computadora muestra aleatoriamente 2002 números positivos. Las reglas del juego permiten hacer las siguientes operaciones:\n- Tomar 2 números de estos, duplicar el primero, sumar el segundo y guardar la suma.\n- Tomar otros 2 números de los números restantes, duplicar el primero, sumar el segundo, multiplicar esta suma por la anterior y guardar el resultado.\n- Repetir este procedimiento hasta que no se utilicen los 2002 números. El estudiante gana el juego si el producto final es lo más grande posible. Encuentra la estrategia ganadora y pruébala.

Determine el número máximo $h$ que satisface la siguiente condición: para cada $a\in [0,h]$ y cada polinomio $P(x)$ de grado 99 tal que $P(0)=P(1)=0$, existen $x_1,x_2\in [0,1]$ tales que $P(x_1)=P(x_2)$ y $x_2-x_1=a$. Propuesto por F. Petrov, D. Rostovsky, A. Khrabrov

Se da un triángulo $ABC$. Sea $B_1$ la reflexión de $B$ a través de la línea $AC$, $C_1$ la reflexión de $C$ a través de la línea $AB$, y $O_1$ la reflexión del circuncentro de $ABC$ a través de la línea $BC$. Demuestre que el circuncentro de $AB_1C_1$ se encuentra en la línea $AO_1$. Propuesto por A. Akopyan

Una disposición de fichas en los cuadrados de una tabla de $n\times n$ se llama dispersa si cada cuadrado de $2\times 2$ contiene como máximo 3 fichas. Serge colocó fichas en algunos cuadrados de la tabla (una en un cuadrado) y obtuvo una disposición dispersa. Sin embargo, notó que si alguna ficha se mueve a cualquier cuadrado libre, la disposición ya no es dispersa. ¿Para qué $n$ es esto posible? Propuesto por S. Berlov

Un mago le pidió a un espectador que pensara en un número de tres dígitos $ \overline{abc}$ y luego que le dijera la suma de los números $ \overline{acb}$, $ \overline{bac}$, $ \overline{bca}$, $ \overline{cab}$ y $ \overline{cba}$. Afirma que cuando conoce esta suma puede determinar el número original. ¿Es eso cierto?

¿Existe un entero positivo $n$ tal que entre los dígitos 200 después del punto decimal en las representaciones decimales de $ \sqrt{n}$, $ \sqrt{n+1}$, $ \sqrt{n+2}$, $ \ldots,$ $ \sqrt{n+999}$ cada dígito ocurre 100 veces? Propuesto por A. Golovanov

En el lado $AB$ de un cuadrilátero cíclico $ABCD$ hay un punto $X$ tal que la diagonal $BD$ biseca a $CX$ y la diagonal $AC$ biseca a $DX$. ¿Cuál es el valor mínimo posible de $AB\over CD$ ? Propuesto por S. Berlov

Un collar consta de 100 cuentas azules y varias cuentas rojas. Se sabe que cada segmento del collar que contiene 8 cuentas azules contiene también al menos 5 cuentas rojas. ¿Cuál es el número mínimo de cuentas rojas que puede haber en el collar? Propuesto por A. Golovanov

Se dan tres números reales. La parte fraccionaria del producto de cada dos de ellos es $ 1\over 2$. Demuestre que estos números son irracionales. Propuesto por A. Golovanov

La suma de varios números no negativos no es mayor que 200, mientras que la suma de sus cuadrados no es menor que 2500. Demuestre que entre ellos hay cuatro números cuya suma no es menor que 50. Propuesto por A. Khabrov