Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo con $ AB=AD$ y $ BC=CD$ . En los lados $ AB,BC,CD,DA$ consideramos puntos $ K,L,L_1,K_1$ tales que el cuadrilátero $ KLL_1K_1$ es un rectángulo. Luego considera rectángulos $ MNPQ$ inscritos en el triángulo $ BLK$ , donde $ M\in KB,N\in BL,P,Q\in LK$ y $ M_1N_1P_1Q_1$ inscritos en el triángulo $ DK_1L_1$ donde $ P_1$ y $ Q_1$ están situados en $ L_1K_1$ , $ M$ en $ DK_1$ y $ N_1$ en $ DL_1$ . Sean $ S,S_1,S_2,S_3$ las áreas de $ ABCD,KLL_1K_1,MNPQ,M_1N_1P_1Q_1$ respectivamente. Encuentra el valor máximo posible de la expresión: $ \frac{S_1+S_2+S_3}{S}$

Sea $ ABC$ un triángulo isósceles con $ AB=AC$ y $ \angle A=20^\circ$ . En el lado $ AC$ considera un punto $ D$ tal que $ AD=BC$ . Encuentra $ \angle BDC$ .

Sea $ ABC$ un triángulo con área $ S$ y puntos $ D,E,F$ en los lados $ BC,CA,AB$ . Las perpendiculares en los puntos $ D,E,F$ a $ BC,CA,AB$ cortan la circunferencia circunscrita del triángulo $ ABC$ en los puntos $ (D_1,D_2), (E_1,E_2), (F_1,F_2)$ . Demuestra que:\n$ |D_1B\cdot D_1C - D_2B\cdot D_2C| + |E_1A\cdot E_1C - E_2A\cdot E_2C| + |F_1B\cdot F_1A - F_2B\cdot F_2A| > 4S$

En el triángulo $ ABC,H,I,O$ son ortocentro, incentro y circuncentro, respectivamente. $ CI$ corta a la circunferencia circunscrita en $ L$ . Si $ AB=IL$ y $ AH=OH$ , encuentra los ángulos del triángulo $ ABC$ .

Sea $ ABC$ un triángulo con centroide $ G$ y $ A_1,B_1,C_1$ los puntos medios de los lados $ BC,CA,AB$ . Una paralela por $ A_1$ a $ BB_1$ intersecta a $ B_1C_1$ en $ F$ . Demuestra que los triángulos $ ABC$ y $ FA_1A$ son similares si y solo si el cuadrilátero $ AB_1GC_1$ es cíclico.

Considera enteros $ a_i,i=\overline{1,2002}$ tales que $ a_1^{ - 3} + a_2^{ - 3} + \ldots + a_{2002}^{ - 3} = \frac {1}{2}$ . Demuestra que al menos 3 de los números son iguales.

Sean $ a_1,a_2,...,a_6$ números reales tales que:\n$ a_1 \not = 0, a_1a_6 + a_3 + a_4 = 2a_2a_5 \ \mathrm{and}\ a_1a_3 \ge a_2^2$\nDemuestra que $ a_4a_6\le a_5^2$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Sean $ a,b,c$ números reales positivos. Demuestra la desigualdad: $ \frac {a^3}{b^2} + \frac {b^3}{c^2} + \frac {c^3}{a^2}\ge \frac {a^2}{b} + \frac {b^2}{c} + \frac {c^2}{a}$

Sean $ a,b,c$ números reales positivos tales que $ abc=\frac{9}{4}$ . Demuestra la desigualdad: $ a^3 + b^3 + c^3 > a\sqrt {b + c} + b\sqrt {c + a} + c\sqrt {a + b}$ \nVariante del jurado: Demuestra lo mismo, pero con $ abc=2$

Números reales positivos se organizan de la forma:\n$ 1 \ \ 3 \ \ 6 \ \ 10 \ \ 15 ...$\n$ 2 \ \ 5 \ \ 9 \ \ 14 ...$\n$ 4 \ \ 8 \ \ 13 ...$\n$ 7 \ \ 12 ...$\n$ 11 ...$\nEncuentra el número de la línea y la columna donde se encuentra el número 2002.