Dos enteros positivos $m$ y $n$ son ambos menores que $500$ y $\text{mcm}(m,n) = (m-n)^2$. ¿Cuál es el valor máximo posible de $m+n$?

Un subconjunto de los números reales tiene la propiedad de que para dos elementos distintos del mismo, como $x$ e $y$, tenemos que $(x+y-1)^2 = xy+1$. ¿Cuál es el número máximo de elementos en este conjunto?

Sean $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{20}$ una permutación de los números $1, 2, \dots, 20$. ¿Cuántos valores diferentes puede tener la expresión $a_1-a_2+a_3-\dots - a_{20}$?

¿Para cuántos enteros $k$ el siguiente sistema de ecuaciones tiene una solución distinta de $a=b=c=0$ en el conjunto de los números reales? \n\begin{align*}\n\begin{cases}\na^2+b^2=kc(a+b),\\\nb^2+c^2 = ka(b+c),\\\nc^2+a^2=kb(c+a).\end{cases}\n\end{align*}

Bahman quiere construir un área al lado de la pared de su jardín para guardar su aves de corral. Tiene tres vallas de $10$ metros de longitud cada una. Usando la pared del jardín, que es recta y larga, así como las tres piezas de valla, ¿cuál es la mayor área que Bahman puede encerrar en metros cuadrados?

¿Cuántas ternas $(a,b,c)$ de enteros positivos estrictamente menores que $51$ existen tales que $a+b+c$ es divisible por $a, b$ y $c$?

Según las normas de una ciudad, los edificios de una calle no pueden tener más de $9$ pisos. Además, si el número de pisos de dos edificios es el mismo, sin importar lo lejos que estén el uno del otro, debe haber un edificio con un número mayor de pisos entre ellos. ¿Cuál es el número máximo de edificios que se pueden construir en un lado de una calle en esta ciudad?

Considera un triángulo $ABC$ en el que $AB=AC=15$ y $BC=18$. Los puntos $D$ y $E$ se eligen en $CA$ y $CB$, respectivamente, de modo que $CD=5$ y $CE=3$. El punto $F$ se elige en la semirrecta $\overrightarrow{DE}$ de modo que $EF=8$. Si $M$ es el punto medio de $AB$ y $N$ es la intersección de $FM$ y $BC$, ¿cuál es la longitud de $CN$?

Una parte de un parque forestal que está situado entre dos carreteras se ha incendiado. El fuego se está extendiendo a una velocidad de $10$ kilómetros por hora. Si la distancia entre el punto de partida del incendio y ambas carreteras es de $10$ kilómetros, ¿cuál es el área de la región quemada después de dos horas en kilómetros cuadrados? (Suponga que las carreteras son líneas paralelas rectas y largas y que el fuego no entra en las carreteras)

La placa de matrícula de cada automóvil en Irán consta de un número de dos dígitos y un número de tres dígitos, así como una letra del alfabeto persa. El dígito $0$ no se usa en los dos números. A cada placa de matrícula, le asignamos el producto de los dos números que contiene. Por ejemplo, si los dos números son $12$ y $365$ en una placa de matrícula, el número asignado sería $12 \times 365 = 4380$. ¿Cuál es el promedio de todos los números asignados a todas las placas de matrícula posibles?