Hay $n$ puntos en la página tales que no hay tres de ellos colineales. Demuestra que el número de triángulos cuyos vértices son elegidos de estos $n$ puntos y cuya área es 1, no es mayor que $\frac23(n^2-n)$ .

Sean $a,b$ dos enteros positivos y $a>b$ . Sabemos que $\gcd(a-b,ab+1)=1$ y $\gcd(a+b,ab-1)=1$ . Demuestra que $(a-b)^2+(ab+1)^2$ no es un cuadrado perfecto.

Astrofísicos han descubierto un planeta menor de radio $30$ kilómetros cuya superficie está completamente cubierta de agua. Un meteoro esférico golpea este planeta y se sumerge en el agua. Esta incidencia provoca un aumento de $1$ centímetro en la altura del agua en este planeta. ¿Cuál es el radio del meteoro en metros?

La secuencia $\{a_n\}$ se define de la siguiente manera: \n\begin{align*}\na_n = \sqrt{1 + \left(1 + \frac 1n \right)^2} + \sqrt{1 + \left(1 - \frac 1n \right)^2}.\n\end{align*}\n¿Cuál es el valor de la expresión que se indica a continuación?\n\begin{align*}\n\frac{4}{a_1} + \frac{4}{a_2} + \dots + \frac{4}{a_{96}}.\end{align*}

Nadia compró un compás y después de abrir su paquete se dio cuenta de que la longitud de la pata de la aguja es de $10$ centímetros, mientras que la longitud de la pata del lápiz es de $16$ centímetros! Suponga que para dibujar un círculo con este compás, el ángulo entre la pata del lápiz y el papel debe ser al menos de $30$ grados, pero la pata de la aguja podría colocarse en cualquier ángulo con respecto al papel. Sea $n$ la diferencia entre los radios de los círculos más grande y más pequeño que Nadia puede dibujar con este compás en centímetros. ¿Cuál de las siguientes opciones está más cerca de $n$?

Hay ocho baldosas congruentes de $1\times 2$ formadas por un cuadrado azul y un cuadrado rojo. ¿De cuántas maneras podemos cubrir un área de $4\times 4$ con estas baldosas de modo que cada fila y cada columna tenga dos cuadrados azules y dos cuadrados rojos?

El punto $P$ se elige dentro o sobre el triángulo equilátero $ABC$ de lado de longitud $1$. El reflejo de $P$ con respecto a $AB$ es $K$, el reflejo de $K$ con respecto a $BC$ es $M$, y el reflejo de $M$ con respecto a $AC$ es $N$. ¿Cuál es la longitud máxima de $NP$?

En el cuadrilátero convexo y cíclico $ABCD$, tenemos $\angle B = 110^{\circ}$. La intersección de $AD$ y $BC$ es $E$ y la intersección de $AB$ y $CD$ es $F$. Si la perpendicular de $E$ a $AB$ interseca la perpendicular de $F$ a $BC$ en la circunferencia circunscrita del cuadrilátero en el punto $P$, ¿cuál es $\angle PDF$ en grados?

Sean $x \geq y \geq z$ números reales positivos tales que \n\begin{align*}x^2+y^2+z^2 \geq 2xy+2yz+2zx.\end{align*}\n¿Cuál es el valor mínimo de $\frac{x}{z}$?

Tres varillas de longitudes $1396, 1439$ y $2018$ milímetros se han articulado desde una punta en el suelo. ¿Cuál es el valor más pequeño para el radio del círculo que pasa por las otras tres puntas de las varillas en milímetros?