El $\underline{\text{número de camino}}$ de un grafo es el número mínimo de caminos que necesitamos para particionar los vértices de un grafo. Dado un grafo conectado con el número de independencia $k > 1$ , ¿cuál es el valor máximo posible para el número de camino en este grafo? Encuentra la respuesta en términos de $k$ . El número de independencia de un grafo $\textbf{G}$ es el número máximo posible $k$ , tal que existen $k$ vértices no adyacentes por pares en $\textbf{G}$.

Hay una hormiga en cada vértice de un cubo unitario. En el tiempo cero, las hormigas comienzan a moverse a través de los bordes con la velocidad de una unidad por minuto. Si una hormiga llega a un vértice, alternativamente gira a la derecha y a la izquierda (por primera vez girará en una dirección aleatoria). Si dos o más hormigas se encuentran en cualquier lugar del cubo, ¡mueren! Sabemos que una hormiga sobrevive después de tres minutos. ¡Demuestra que existe una hormiga que nunca muere!

Asumimos un camión como una baldosa de $1 \times (k + 1)$. Nuestro estacionamiento es una tabla de $(2k + 1) \times (2k + 1)$ y hay $t$ camiones estacionados en él. Algunos camiones están estacionados horizontalmente y algunos camiones están estacionados verticalmente en el estacionamiento. Los camiones verticales solo pueden moverse verticalmente (en su columna) y los camiones horizontales solo pueden moverse horizontalmente (en su fila). Otro camión está dispuesto a entrar en el estacionamiento (solo puede entrar desde algún lugar del límite). Para $3k + 1 < t < 4k$ , demuestra que podemos mover otros camiones hacia adelante o hacia atrás de tal manera que el nuevo camión pueda entrar en el lote. Demuestra que la afirmación no es necesariamente cierta para $t = 3k + 1$.

En el lago, hay $23$ piedras dispuestas a lo largo de un círculo. Hay $22$ ranas numeradas $1, 2, \cdots, 22$ (cada número aparece una vez). Inicialmente, cada rana se sienta aleatoriamente en una piedra (varias ranas pueden sentarse en la misma piedra). Cada minuto, todas las ranas saltan al mismo tiempo de la siguiente manera: la rana número $i$ salta $i$ piedras hacia adelante en el sentido de las agujas del reloj. (En particular, la rana número $22$ salta $1$ piedra en el sentido contrario a las agujas del reloj). Demuestra que en algún momento, al menos $6$ piedras estarán vacías.

Queremos cubrir un rectángulo de $5 \times 137$ con las siguientes figuras, pruebe que esto es imposible. \[\text{Los cuadrados son iguales y todos son } \Huge{1 \times 1}\]

Sea $\alpha$ una raíz de la ecuación $x^3-5x+3=0$ y sea $f(x)$ un polinomio con coeficientes racionales. Pruebe que si $f(\alpha)$ es la raíz de la ecuación anterior, entonces $f(f(\alpha))$ también es una raíz.

(a) Considere el conjunto de todos los triángulos $ABC$ que están inscritos en un círculo con radio $R.$ ¿Cuándo es $AB^2+BC^2+CA^2$ máximo? Encuentre este máximo. (b) Considere el conjunto de todos los tetragonales $ABCD$ que están inscritos en una esfera con radio $R.$ ¿Cuándo es la suma de los cuadrados de las seis aristas de $ABCD$ máximo? Encuentre este máximo, y en este caso pruebe que todas las aristas son iguales.

(a) Para cada entero positivo $n$ pruebe que \[1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2} <2\] (b) Sea $X=\{1, 2, 3 ,\ldots, n\} \ ( n \geq 1)$ y sea $A_k$ un subconjunto no vacío de $X \ (k=1,2,3, \ldots , 2^n -1).$ Si $a_k$ es el producto de todos los elementos del conjunto $A_k,$ pruebe que \[\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^m \frac{1}{a_i \cdot j^2} <2n+1\]

Encuentre todas las soluciones enteras a la ecuación \[(x^2-x)(x^2-2x+2)=y^2-1\]

Sea $ABCD$ un paralelogramo. La línea $\Delta$ se encuentra con las líneas $AB, BC, CD$ y $DA$ en $M, N, P$ y $Q,$ respectivamente. Sea $R$ el punto de intersección de las líneas $AB,DN$ y sea $S$ el punto de intersección de las líneas $AD, BP.$ Pruebe que $RS \parallel \Delta.$