Define la operación $\bigoplus$ en el conjunto de los números reales tal que \[x \bigoplus y = x+y-xy \qquad \forall x,y \in \mathbb R.\] Prueba que esta operación es asociativa.

Sean $B$ y $C$ dos puntos fijos en el plano $P.$ Encuentra el lugar geométrico de los puntos $M$ en el plano $P$ para los cuales $MB^2 + kMC^2 = a^2.$ ( $k$ y $a$ son dos números dados y $k>0.$ )

Sean $D$ y $D'$ dos líneas con las ecuaciones \[\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{3} = \frac{z-1}{4} \quad \text{y} \quad \frac{x+1}{2} = \frac{y+2}{4} = \frac{z-1}{3}.\] Encuentra la longitud de su perpendicular común.

Supón que \[S_n=\frac 59 \times \frac{14}{20} \times \frac{27}{35} \times \cdots \times \frac{2n^2-n-1}{2n^2+n-1}\] Encuentra $\lim_{n \to \infty} S_n.$

Encuentra el número de términos cuando expandimos $(a+b+c)^{99}$ (en el caso general).

Sea $f : \mathbb R \to \mathbb R$ una función tal que \[f(x+y)=f(x) \cdot f(y) \qquad \forall x,y \in \mathbb R\] Supón que $f(0) \neq 0$ y $f(0)$ existe y es finito $(f(0) \neq \infty)$ . Prueba que $f$ tiene derivada en cada punto $x \in \mathbb R.$

Considera la función \[f(x)= \sin \biggl( \frac{\pi}{2} \lfloor x \rfloor \biggr).\] Encuentra el periodo de $f$ y dibuja un diagrama de $f$ en un periodo. También prueba que $\lim_{x \to 1} f(x)$ no existe.

Sean $f$ y $g$ dos funciones tales que \[f(x)=\frac{1}{\lfloor | x | \rfloor}, \quad g(x)=\frac{1}{|\lfloor x \rfloor |}.\] Encuentra los dominios de $f$ y $g$ y luego prueba que \[\lim_{x \to -1^+} f(x)= \lim_{x \to 1^- } g(x).\]

Sean $x_1, x_2, \ldots, x_{12}$ doce números reales tales que para cada $1 \leq i \leq 12$ , tenemos $|x_i| \geq 1$ . Sea $I=[a,b]$ un intervalo tal que $b-a \leq 2$ . Demostrar que el número de los números de la forma $t= \sum_{i=1}^{12} r_ix_i$ , donde $r_i=\pm 1$ , que se encuentran dentro del intervalo $I$ , es menor que $1000$.

En un cuadrilátero convexo $ABCD$ , las diagonales $AC$ y $BD$ son iguales. Construimos cuatro triángulos equiláteros con centros $O_1,O_2,O_3,O_4$ en los lados $AB, BC, CD, DA$ fuera de este cuadrilátero, respectivamente. Demostrar que $O_1O_3 \perp O_2O_4$.